第十四章 波动光学

第一节 光的偏振

一、光的偏振现象 - 横波性

• 偏振(polarization):
  振动方向对于传播方向的非对称分布。

对称分布，指无论偏振片怎样放置，波都能通过；
而非对称则是偏振片沿一个角度放置，会使得光完全不能通过。
故只有横波才有偏振现象，是区别于纵波的重要性质。

• 光$\rightarrow$电磁波$\rightarrow$横波

概念 - 光矢量：

引起视觉和化学效应的是电磁场的电场强度矢量$E(t)$，
故将该矢量成为光矢量(light vector)。

注意：光的电矢量只与传播方向垂直，
所以光矢量可以在与传播方向垂直平面的任意方向。

• 偏振态(polarization state):
  光矢量$E$在垂直于传播方向的平面内，可以有不同的振动状态，称为光的偏振态。

二、光的五种偏振态

1. 自然光

• 自然光(Natural light):
  各方向光振动的振幅相同，从而强度相同，这样的光称作自然光。

一般即指普通光源发出的光。

对于每一个光波列：均为横波——可偏振。
但因为原子发光的独立性和随机性，一段观测时间内电矢量的统计平均值在空间和时间分布均有均匀性。 使得自然光并不是偏振光。

• 空间分布的均匀性：光矢量对传播方向均匀对称分布。——故整体非偏振
• 时间分布的均匀性：光振动各个朝向的振幅大小相同。

• 图示：
  

2. 线偏振光

• 线偏振光(Linearly light):
  只有某一固定方向的光振动的光，称为线偏振光。

光振动只有一个确定方向（只有一个振动面）。

• 振动面：光矢量的振动方向与光的传播方向构成的平面。
  

• 图示：
  

3. 部分偏振光

是介于线偏振光和自然光之间的一种偏振光，
在振动面内各个光振动都有，但光强不等，光振动在某方向上有优势，
正交分解后可以得到两个互相垂直、互相独立但光振动的振幅不相等。

故可以当作“自然光”+“线偏振光”。

• 图示：
  

4. 椭圆、园偏振光

虽然只有一个光矢量，但其会旋转，
故有无数个振动面。

端点轨迹的截面为椭圆，则是椭圆偏振光，
为圆，则是圆偏振光。

可以根据之前的“李萨如图形”，分解为两个方向上的旋转矢量。

圆偏振光 1

椭圆偏振光 1

在圆偏振光中，
当顺着光的传播方向看，电场矢量是逆时针旋转时，称为“左旋圆偏振光”，
顺时针旋转称为“右旋圆偏振光”。

下部分引问：
如何获得偏振光？即如何起偏？

1. 利用光在各向异性介质中的传播。
   1. 偏振片
   2. 双折射现象
2. 利用光在两种介质界面上的反射和折射。

三、偏振片起偏 马吕斯定律

1. 偏振片起偏原理

利用晶体的二相色性，只让某一方向（称为偏振化方向）振动的光通过，而吸收其他方向的光振动。
将透明薄片涂有二相色性材料，即形成偏振片。

2. 效果

“起偏”，得到与“偏振化方向”相同的线偏振光，称为“起偏器”。

若在其后再放置一个偏振片，并不断旋转，
则可以检测是否是偏振光，起到“检偏”效果，称为“检偏器”。

3. 马吕斯定律

反应光线通过偏振片后的强度变化规律。

• 自然光： $$ I_0 \rightarrow I=\frac{1}{2}I_0 $$
• 线偏振光： $$ I_0 \rightarrow I=I_0\cos^2\alpha $$ 其中$\alpha$为线偏振光振动方向与偏振化方向的夹角。
  
  夹角图示
• 部分偏振光： $$ I_0 = I_1+I_2 \rightarrow I=\frac{1}{2}I_1 + I_2\cos^2\alpha $$

四、反射折射起偏 布儒斯特定律

1. 反射折射起偏原理

当光线（自然光）沿界面发生反射和折射时，光的偏振状态会发生改变。

1. 一般状态入射：
   反射光与折射光都是部分偏振光。
2. 入射角$i$满足某一特殊角度$i_0$：
   反射光是垂直于入射面的线偏振光，折射光仍是部分偏振光。

2. 布儒斯特定律

上述的$i_0$称为布儒斯特角（起偏角），
满足条件： $$ \tan i_0 = \frac{n_o}{n_i} $$

• $n_o$代表出射（折射）处介质的折射率，
• $n_i$代表入射处介质的折射率。

又$\because \frac{\sin i_0}{\sin \gamma}=\frac{n_o}{n_i}$（折射定律）
得： $$ i_0+\gamma = \frac{\pi}{2} $$

3. 光强关系

反射光只包含垂直于入射面的振动的一部分，光强较弱，$I < \frac{1}{2}I_0$。

但可以通过多次反射，使$I\to I_0$，
此时起偏装置由许多平行玻璃片组成，称为“玻璃片堆”。

玻璃片堆

拓展 - 比较起偏角和全反射临界角：

五*、双折射现象

• 双折射现象(birefringence):
  当光进入各向异性介质（如方解石）时，介质中出现两束折射光线的现象。

对于两束折射光，可分为：

• o光（寻常光）：遵循折射定律，与入射光线在同一平面。
  $\frac{\sin i}{\sin \gamma}=n_0$，为常量。
• e光（非常光）：不遵循折射定律，一般不在入射面内。
  $\frac{\sin i}{\sin \gamma’}=n_e$，不为常量。

角度定义

e光不在入射面示意（垂直入射）

六、检偏及其规律

检测光线是否为线偏振光。

方法：旋转检偏器，观测出射光强的变化情况。

判断方法

第二节 光的干涉

基础知识点：

• 波的干涉条件、现象和能量分布

一、相干光

• 相干光(coherent light):
  当满足相干条件：

  1. 振动方向相同
  2. 频率相同
  3. 相位差恒定
  4. 满足空间相干性
  5. 满足时间相干性

  这样的两束光在空间相遇时，会出现光强（明暗）在空间“非均匀”“稳定”分布。
  这种现象称为光的干涉，
  这两束光称为相干光。

1. 光

• 狭义：可见光，电磁波中的一个狭窄波段
• 广义：电磁波

电磁波谱

相关名词：

• 光波：交变电磁场在空间传播。
• 光矢量$\vec{E}$：引起视觉和感光作用。
• 光振动$\vec{E}(t)$：方向、大小随$t$周期性变化。
  $$ E=E_0\cos(\omega t+\varphi) $$
• 光强：$I \propto E_0^2$（注意这里的$E$是光振动的振幅）
• 相对光强：$I = E_0^2$

2. 光波与机械波相干性比较

相同处：

• 相干条件相同（见上）
• 光强分布： $$ I=I_1+I_2+\underline{2\sqrt{I_1I_2}\cos \Delta\varphi} $$ （划线部分为干涉项） $$ \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda} $$

不同处：

• 机械波源与光波波源特征不同
  • 机械波源：容易满足相干条件。
  • 光波波源：难以满足相干条件。

因此对于普通光源，难以满足相干条件。

拓展 - 普通光源发光机制：

被激发到较高能级的原子跃迁到低能级时，
以光的形式辐射出多余能量。

一个原子，一次跃迁，只能发出一个频率、振动方向和初相一定的光波波列，
并且该光波列有一定的波列长度，只持续一定的时间（$L=\tau c (\tau\approx 10^{-8}s)$）

发光特点：

1. 自发辐射，具有间歇性和随机性。
2. 原子发光的时间很短，只有$10^{-8}$秒。
3. 各原子发光是完全随机独立的，无固定相位差。

正因为原子发光的时间极短，
所以在人的观测反应时间内，干涉现象为平均结果，即： $$ I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\frac{1}{\tau}\int_0^\tau\cos\Delta\varphi \rm d t=I_1+I_2 $$ 为均匀分布，非相干叠加，故观测不到干涉现象。

则：两普通光源或同一光源的不同部分是不相干的。

拓展 - 发展现状：

1. 激光 激光：受激辐射，与普通光源产生机理不同，具有相干性。
   其频率、相位、偏振态（振动方向）、转播方向完全相同。
2. 快速光电接收器件 精确到皮秒，故可以观测到十分短暂的干涉，甚至观测到两个独立光源的干涉。

二、从普通光获得相干光

以下两个方法都能保证初相位和频率相同。

1. 分波面法

对于同一个波阵面

在光源发出的同一波列的波面上，取出两个次波源，
对于同一个波阵面上的两点，它们的所有振动状态完全相同，
由于它们相位差保持恒定（即便相位会变化），所以构成相干波源。

分波面法

典型应用：杨氏双缝干涉。

2. 分振幅法

利用光在两种透明介质交界面的反射和折射，
使两束光线来自同一个波列，它们的所有振动状态也完全相同。 先将光的振幅（能量）分为两部分，再引导他们相遇形成干涉。

分振幅法

三、光程 光程差

主要就是把只能在同一介质中用的公示，推广到不同介质也能用。

1. 光程

• 光程(optical path):
  将光在介质中的几何路程与介质折射率的乘积定义为等效真空程，称为“光程”。 $$ d’=nd $$

光在折射率为$n$的介质中前进$d$距离引起的相位改变，
与在真空中前进$nd$距离引起的相位改变相同。

因此可以将光在不同介质中走过的路程，折算到在真空中的路程加以比较。

2. 光程差

引入：
用相位来表示光强、干涉强弱状态不好想象，
因此想办法转换为一个距离度量，用空间量来表示。

通过光程差来简化相位差的表达。

推导过程：

相干光源两束光在$P$点相遇时，其光振动取决于两个光振动的相位差： $$ \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-\frac{2\pi(r_2-r_1)}{\lambda} $$ 为了简化讨论，一般都控制初相差为$0$，即： $$ \Delta\varphi=\frac{2\pi(r_1-r_2)}{\lambda} $$

在不同介质中，波长会变化，如下图：

则相位差应表示为： $$ \Delta\varphi=2\pi\frac{r_1}{\lambda}-2\pi(\frac{r_2-d}{\lambda}+\frac{d}{\lambda’}) $$

又$\because \lambda’=\frac{u}{v}=\frac{\frac{c}{n}}{v}=\frac{\lambda}{n}$，可以转化为： $$ \Delta\varphi=2\pi\frac{r_1}{\lambda}-2\pi(\frac{r_2-d}{\lambda}+\frac{nd}{\lambda}) $$ 其中$nd$刚好对应上述的“光程”。

将两束光的光程之差定义为光程差，用$\Delta$表示。
$$ ⭐\qquad\Delta\varphi=2\pi\frac{\Delta}{\lambda} $$

上推导过程中，$\Delta=r_1-(r_2-d+nd)=r_1-[r_2+(n-1)d]$

计算光程差的常见情况：

1. 在真空中放入厚度为$d$折射率为$n$的介质，
   附加（多出来的）光程差：$nd-d=(n-1)d$
2. 光从光疏介质射到光密介质并反射时，发生半波损失，
   附加光程差：$\frac{\lambda}{2}$（不做证明，但要牢记）
3. 薄透镜物点与像点间等光程，即经过透镜每一条光线$s_i$是等光程的，
   不引起附加光程差。
   
   虽然两侧的光线透镜里走的短，但真空中走的多；中间的光线透镜里走的多，但真空里走的短。

3. 明暗条纹条件

因此，相消和相长的条件可以表示为：

$$ \Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}+2\pi\frac{\Delta}{\lambda}=\left{ \begin{array}{l} \pm 2 k\pi & \textsf{（相长）}\ \pm(2 k+1)\pi &\textsf{（相消）} \end{array} \right.\qquad(k=0,1,2,\cdots ) $$

又因为一般调节$\varphi_1=\varphi_2$，故：

$$ ⭐\qquad \Delta=\left{ \begin{array}{l} \pm k\lambda & \textsf{（明）}\ \pm \frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{（暗）} \end{array} \right.\qquad(k=0,1,2,\cdots ) $$

四、分波面法 - 双缝干涉 空间相干性

1. 杨氏双缝干涉

① 装置

装置图

称$O$点为“屏中心”。

要求：

• $d \ll D$
  故所有光线与水平轴的夹角$\theta$都很小。
  同时$d$很小，更容易使传到$S_1,S_2$的波来自同一个波列。
• $S_1, S_2$等距分布在$S$两侧。

光线流程：单色光→单缝→双缝→观察屏。

$S$的作用是提供点光源，发出柱面波。
如果直接为点光源可以不用$S$屏。

原理 - 惠更斯原理：

介质中任意波阵面上的各点都可以看作是发射子波的波源，
其后任一时刻，这些子波的包络面就是新的波阵面。

② 明暗纹位置

如上图，记观察屏点$P$距离屏中心$O$的距离为$x$，
则：

$$ ⭐\qquad x=\left{ \begin{array}{l} \pm k\frac{D}{d}\lambda & \textsf{（明）}\ \pm \frac{2k+1}{2}\frac{D}{d}\lambda &\textsf{（暗）} \end{array}\qquad(k=0,1,2,\cdots) \right. $$

推导过程见下：

推导过程 - 光程差$\Delta$：
$\Delta=r_2-r_1\approx d\sin\theta\approx d\frac{x}{D}(\because d \ll D, r_1 \parallel r_2)$
带入光程差公式：
$\Delta=d\frac{x}{D}=\left{\begin{array}{l}\pm k\lambda & \textsf{（明）}\\pm \frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{（暗）}\end{array}\qquad(k=0,1,2,\cdots)\right.$

转换后即为上式。

③ 条纹特点

• 形态：平行于缝的等亮度、等间距、明暗相间的条纹。
• 条纹亮度：
  • 亮处：$I_{max}=4I_0$
  • 暗处：$I_{min}=0$
• 条纹宽度： $$ ⭐ \Delta x = \frac{D}{d}\lambda $$ 注意这里有近似，所以实际上是不等宽度的。
  • $\lambda$一定：$\Delta x \propto D$，$\Delta x \propto \frac{1}{d}$，
    观察屏$D$越远、双缝间隙$d$越小 → 条纹$\Delta x$越宽。
  • $d, D$一定：$\Delta x \propto \lambda$，
    波长$\lambda$越长（频率$\nu$越小） → 条纹$\Delta x$越宽。
    即红光的条纹宽度大于紫光：$\Delta x_{\textsf红}>\Delta x_{\textsf{紫}}$。

拓展 - 白光照射双缝：

• 零级明纹：白光。
• 其余明纹：彩色光谱（内紫外红）
  高级次会产生重叠（这一级$k$的红色重叠下一级$k+1$的紫色）

白光照射双缝示意图

重叠，即$k\lambda_\textrm{红}=(k+1)\lambda_\textrm{紫}$，
解得$k=1.33$。
故只有第一级未重叠，清晰可见。

2. 其他分波阵面干涉

均利用反射或折射形成的虚像。

① 菲涅尔双棱镜

菲涅尔双棱镜

由$S$向上发发出的两束距离最远的光线，其延长线焦点的虚像可视为新的点光源$S_1$，
同理，下方也会形成一个虚像点光源$S_2$。

则在阴影部分，会形成与“双缝干涉”一样效果的干涉条纹。

② 菲涅尔双面镜

菲涅尔双面镜

原理与菲涅尔双棱镜差不多一样。

③ 洛埃镜（劳埃德镜）

劳埃德镜

$M$为一个水平放置的反射镜，
点光源$S_1$入射时，一部分直接打到$P$屏上，
另一部分通过$M$反射打到$P$屏上。

反射光线同样可以看作虚像点光源$S_2$发出的光线，
故阴影区也大致跟杨氏双缝干涉现象一样。（不完全一样，见下）

但当我们将$P$屏移到与$M$右端重合时，
会发现按理论分析出中央条纹应该是明纹，
实际上却是暗纹。

这是因为发生了“半波损失”的原因，相位突变了$\pi$。

• 半波损失：
  在正入射（垂直入射）和一般斜入射情况下。

  • 光疏入射到光密，会有半波损失。 对于反射光线，会有$\pi$的相位突变，光程差会有$\frac{\lambda}{2}$的变化。
  • 光密入射到光疏，没有半波损失。

  在掠入射（入射角将近$90\degree$）的情况下，反射光无论如何都有半波损失。
  但平时讨论的干涉衍射的情况很少出现掠入射，所以不用考虑。

  对于透射光，无论如何都不会发生半波损失。

⚠ - 因此对于反射形成的干涉问题，要考虑是否有半波损失。

3. 空间相干性

引入：

考虑是否能通过增加单缝的宽度，使透过的光源更多，来提高干涉条纹的亮度（光强）？

先考虑将点光源沿竖直方向移动，对干涉条纹的影响。
如下图：

点光源移动对干涉条纹影响

因此增加单缝长度（或把单缝换为点光源，增加点光源宽度），
这些光源各自是非相干光源， 会使得不同相位的干涉条纹非相干叠加在一起。

双缝干涉的空间相干性

当$\Delta=\frac{\lambda}{2}$时，干涉条纹完全模糊（各处光强一样），
由这个临界点计算得到单缝缝宽的临界值：
$$ ⭐ b < \frac{B}{d}\lambda $$

也可以转换为波阵面$d$的关系式： $$ d < \frac{B}{b}\lambda $$

因此给出定义：

• 空间相干性(spatial coherence):
  光缝宽度$b$（或者宽度为$b$的普通光源），
  他的波阵面距离$d$，需要小于$\frac{B}{b}\lambda$，才能产生干涉现象。
  这一性质称为“空间相干性”。

五、分振幅法 - 薄膜干涉 时间相干性

1. 一般性讨论

① 明暗条纹分析

初始装置：

等厚干涉装置

• 参数：
  • $e$ - 等厚薄膜的宽度（很小）
  • $n_1$ - 薄膜外介质的折射率（薄膜上下表面）
  • $n_2$ - 薄膜的折射率
• 物体：
  • $L$ - 透镜，用于将平行的干涉光线汇聚在一起
  • $P$ - 观察屏，在透镜焦平面上

第一对相干光 - 反射干涉光：

反射干涉光

• 角度：

  • $i$ - 入射角
  • $\gamma$ - 折射角

• 光波列：

  • $1$ - 入射光
  • $2$ - 直接反射光
  • $3$ - 间接反射光（依次经过一次折射、一次反射、一次折射出射的光线）

  根据前面的“分振幅法”，可以知道$2$、$3$光线为相干光。

• $P$ - 反射干涉光相遇点

第二对相干光 - 透射干涉光：

透射干涉光

• 光波列：

  • $4$ - 第一束透射光（经过两次折射）
  • $5$ - 第二束透射光（依次经过一次折射、一次反射、一次反射、一次折射出射的光线）

  同理，$4$、$5$也为相干光。

• 如果再在下方加个同样的透镜与观察屏，
  则$4$、$5$会相交于$P’$点，
  为透射干涉光相遇点。

对于$P$、$P’$点的干涉后光强，取决于光程差$\Delta$。

• 对于反射干涉光：
  

  分析：

  $l_{DLP}=l_{CLP}$ $\therefore \Delta_\textrm{反}=n_2(AB+BC)-n_1AD$

  但为反射，还需要考虑半波损失。

  • $n_2>n_1$时：

    • 对于光线$2$，有$1$个半波损失。
    • 对于光线$3$，没有半波损失。

    因此总的来说会有一个半波损失。

  • $n_2<n_1$时：

    • 对于光线$2$，没有半波损失。
    • 对于光线$3$，有$1$个半波损失。

    因此总的来说会有一个半波损失。

  故真正的光程差：$\Delta_\textrm{反}=n_2(AB+BC)-n_1AD+\frac{\lambda}{2}$

  由几何关系、折射定律，可以将式子转化为： $$ \Delta_\textrm{反}=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2} $$
• 对于透射反射光，同理分析（注意这里面会出现某一束光有两次半波损失的情况，则抵消），
  得光程差： $$ \Delta_\textrm{透}=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i} $$

无论反射还是透射光，都能明暗条纹条件，分析出明暗纹。

而对于光程差有无$\frac{\lambda}{2}$半波损失项，
因该根据具体情况来分析。

⚠需要注意：
光程差表达式恒为正（含根式），套用明暗条纹条件时不用加$\pm$，
但因为半波损失的存在，在明纹处$k$不能取$0$，否则会使根式等于负值。

总结为“薄膜干涉明暗纹条件”： $$ \Delta_{(\textrm{反/透})}=\left{ \begin{array}{l} k\lambda & \textsf{（明）} & (k=1,2,\cdots)\ \frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{（暗）} & (k=0,1,2,\cdots) \end{array} \right. $$

② 等倾干涉与等厚干涉分类

若$\lambda,n_1,n_2$一定，
则$\Delta$与$e,i$有关。

对于$\Delta$： $$ \Delta = 2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}(+\frac{\lambda}{2}) $$

1. 平行光入射 - $i$一定
   $\Delta$随着膜厚度$e$变化。

   • 薄膜同一厚度$e$ → 对应同一条干涉条纹
   • 薄膜不同厚度 → 对应不同干涉条纹

   故干涉条纹形状与薄膜等厚线相同，
   称为“等厚干涉”。

2. 薄膜厚度均匀 - $e$一定
   $\Delta$随着入射角$i$变化。

   • 入射光同一个入射角$i$ → 对应同一条干涉条纹
   • 入射光不同的入射角 → 对应不同干涉条纹

   故干涉条纹为一组同心圆环，
   称为“等倾干涉”。

• 等厚干涉 - 平行光入射，厚度不一 - $i$一定、$e$变化 - 劈尖、牛顿环
• 等倾干涉 - 点光源入射，厚度相同 - $e$一定、$i$变化 - 略

2. 薄膜等厚干涉

① 劈尖

劈尖横截面示意图

光线垂直入射，故$\sin i = 0$
且$\theta$非常小，可以认为光束①、②重合，不需要透镜和观察屏。

则光程差近似为： $$ \Delta=2ne+\frac{\lambda}{2} $$

Ⅰ. 劈尖条纹特点

$\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}=\left{\begin{array}{l}k\lambda & \textsf{（明）} & (k=1,2,\cdots)\\frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{（暗）} & (k=0,1,2,\cdots)\end{array}\right.$

• 形态：平行于棱边，明、暗相间条纹。
• 棱边处($e=0$)：$\Delta=\frac{\lambda}{2}$，为暗纹
• 相邻条纹对应的薄膜厚度差：$\Delta e = e_{k+1}-e_k = \frac{\lambda}{2n}$
• 条纹宽度：$l=\frac{\Delta e}{\sin\theta}=\frac{\lambda}{2n\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{2n\theta}$

劈尖条纹示意图

Ⅱ. 劈尖条纹变化

牢记两点思想：

• $l=\frac{\lambda}{2n\theta}$
• 保持厚度一致。

1. 静态变化：
   $n$、$\lambda$一定，$\theta \uparrow l \downarrow$，条纹变密，同时条纹向棱边移动（左移）
   $n$、$\theta$一定，$\lambda \uparrow l \uparrow$，白光入射出现彩条纹，且内紫外红。 $n$、$\theta$一定，$n \uparrow l \downarrow$，条纹变密（如空气劈尖中注水）
2. 劈尖上表面平行上移：条纹向棱边方向移动（左移）。
3. 轻压劈尖上表面：$\theta \downarrow$，间距变宽，条纹远离棱边方向移动（右移）
4. 劈尖底面有一凹槽：向棱边弯曲（减少$l$）。

② 牛顿环

牛顿环横截面示意图

平板玻璃上放置曲率半径很大的平凸透镜，
也是垂直入射，所以跟劈尖类似，
光程差： $$ \Delta = 2ne + \frac{\lambda}{2} $$

Ⅰ. 牛顿环条纹特点

$\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}=\left{\begin{array}{l}k\lambda & \textsf{（明）} & (k=1,2,\cdots)\\frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{（暗）} & (k=0,1,2,\cdots)\end{array}\right.$

• 形态：以接触点为中心的明暗相间的同心圆环。
  
• 中心($e=0$)：$\Delta=\frac{\lambda}{2}，$中央一定为暗斑。
• 条纹距离中心的半径$r$：
  
  $r=\left{\begin{array}{l} \sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}} & \textsf{（明）} & (k=1,2,\cdots) \ \sqrt{\frac{kR\lambda}{n}} & \textsf{（暗）} & (k=0,1,2,\cdots) \end{array}\right.$（注意明处为$\frac{2k-1}{2}$）
  • $r\propto \sqrt{k}$，条纹内疏外密。
  • $r\propto \sqrt{\lambda}$，白光照射出现彩环。（红光在外，紫光在内）

总结：条纹的形状取决于等厚膜线的形状。
牛顿环等价于角度逐渐增大的劈尖。

Ⅱ. 牛顿环条纹变化

• 上移：条纹向里收缩（向减少厚度的地方移动）

3. 薄膜等倾干涉

装置

厚度统一、均匀。

影响光程差的关键因素只有入射角。

等倾干涉条纹

跟牛顿环的等厚干涉条纹很类似，不过中央条纹不一定是暗，
而是根据入射角的变动而变动。

4. 薄膜干涉的应用

① 测量微小物体的厚度

测量微小物体的厚度

$l=\frac{\lambda}{2n\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{2n\theta}\=\frac{\lambda}{2n}\frac{L}{d}$

$\therefore d=\frac{\lambda}{2n}\frac{L}{l}$

② 检测待测平面的平整度

检测待测平面的平整度

条纹是严格的直线为平整，
否则有凹槽或者突起。

③ 检测光学镜头表面曲率是否合格

利用器件“验规”。

书上例题 P97

④ 利用牛顿环测量未知单色平行光的波长

$r=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}$
$r_m^2-r_k^2=\frac{mR\lambda-kR\lambda}{n}$
$\lambda=\frac{(r_m^2-r_k^2)n}{(m-k)R}$

利用不同明纹（第$k=1,m=2$级）之间半径的差值计算。

⑤ 利用薄膜干涉制成增透膜或增反膜

• 增透膜：减少反射光，反射光的干涉相消。
  光程差满足奇数倍半波长：$\Delta=2e\sqrt{n_2^2-\sin^2i}(+\frac{\lambda}{2})=(2k+1)\frac{\lambda}{2}$
  因为对感光底片最敏感的是黄绿光，所以反射蓝紫光，平时看到镜片都是蓝紫色
• 增反膜：减少透光率，增加反射光，反射光的干涉相长。

5. 迈克尔逊干涉仪

产生等倾干涉。

1. 迈克尔逊干涉仪装置

迈克尔逊干涉仪装置

• 补偿玻璃板：用于补偿后面光线2的光程差

光程差$\Delta=2ne$，
明纹条件：$\Delta=2ne=k\lambda$
暗纹条件：$\Delta=2ne=\frac{2k+1}{2}\lambda$

2. 条纹特点

• 当$M_1 \perp M_2$时，观察到的是等倾干涉条纹；
• 不垂直时，形成劈尖，为等厚干涉条纹。

条纹特点

3. 计算公式

调节$M_1$位置，可以改变$e_1$从而改变$\Delta$，引起条纹移动。

当视线中有一条条纹移动（湮灭或出现），即$k=1$时，$M_1$移动$\frac{\lambda}{2n}$。

$$ \Delta d = \Delta N \cdot \frac{\lambda}{2n} $$

• $\Delta d$ - 移动$M_1$的距离
• $\Delta N$ - 湮灭或出现了多少个条纹
• $n$ - 半透明镀银层的折射率
• $\lambda$ - 波长

故一般可以用来算波长。

3. 光的时间相干性

属于同一光波列的两部分光相遇能发生干涉， 而不同光波列的两部分光相遇不能干涉。

为时间相干的原因：正因为原子发出光的时间不同，导致距离过远时无法干涉。

最大光程差$\Delta_{max} < L = c\Delta_t(\textrm{发光时间})$

• 空间相干性：反映扩展光源不同部分发光的独立性。
• 时间相干性：反映原子发光的间断性。

第三节 光的衍射

一、衍射现象

定义：

波在传播过程中遇到障碍物，能够绕过障碍物的边缘前进，进入几何阴影区，
这种偏离直线传播的现象称为衍射。

光偏离直线传播路径进入几何阴影区，形成光强非均匀稳定分布。

衍射是指绕过边缘传播，而不是穿过障碍物传播。

波长和障碍物的大小可相比拟时就能发生衍射现象，且越相近越明显。
因此声波的衍射现象比光波更容易观测，因为声波波长(m)远长于光波波长(nm)。

二、惠更斯-菲涅耳原理

1. 惠更斯原理

前面已经讲述。

只能定性解释衍射现象，不能定量说明衍射波的强度分布。

2. 菲涅耳原理

将波面上的各面元，视作子波源。

子波源

• 各个子波源的初相$\varphi_0$相同

• 子波在$P$点相位：$\omega t+\varphi_0 -2\pi\frac{r}{\lambda}$

• 子波在$P$点振幅：$A=\frac{Cf(\theta)\rm dS}{r}$
  即：

  • 与面元面积$\rm dS$成正比
  • 与到$P$点的距离$r$成反比
  • 和矢径$\overrightarrow{r}$与面元法向量$\overrightarrow{e_n}$的夹角$\theta$有关。

  倾斜因子$f(\theta)$：$f(\theta)=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)$

  • $\theta=0$时，$f(\theta)=1$
  • $\theta=\frac{\pi}{2}$时，$f(\theta)=\frac{1}{2}$
  • $\theta=\pi$时，$f(\theta)=0$

故波面$S$发出的所有子波，其相干叠加，得到$P$点振动方程：
$\Psi=C\int_S \frac{\rm dS}{2r}(1+\cos\theta)\cos(\omega t +\phi_0-2\pi\frac{r}{\lambda})$

因此惠更斯-菲涅尔原理揭示了：衍射现象的本质是各子波的干涉叠加。
同时解释了为什么干涉条纹是明暗相间的。

如果波面完全不被遮蔽，则所有子波在任意点的叠加结果就是光沿直线传播的结果，光强一致。
但如果波面不完整，叠加的时候少了部分子波的参与，
导致有个明暗条纹的衍射图象。

但因为定量计算过于复杂，故一般采用以下的近似过程来计算。

区别 - 干涉和衍射：

• 干涉 - 有限个 分立 的相干波相干叠加
• 衍射 - 无限个 连续分布 的子波源相干叠加

三、衍射的分类

1. 菲涅耳衍射（近场衍射）
   波源$\xrightarrow{\textrm{有限距离}}$障碍物$\xrightarrow{\textrm{有限距离}}$屏

   一般障碍物为孔，但较难分析衍射现象。

2. ⭐夫琅禾费衍射（远场衍射/平行光衍射）
   
   夫琅禾费衍射

   $L_1$、$L_2$为两个透镜，使得点光源和平行光转化，
   对于平行光，由于没有交点，所以就相当于从无穷远的点光源发出的。
   之后又需要个透镜将平行光汇聚观测干涉图样。 所以即平行光衍射。

3. 信息光学（现代光学分支）

四、单缝夫琅禾费衍射

装置如图：

装置

• 缝宽$a$：其上每一点均为子波源，发出球面波。
• 衍射角$\varphi$：这一组衍射光线与波面法线的夹角。

可以把衍射角相同的光线分为一组，按组去讨论问题。

并且装置可以简化为不要$L_1$透镜，直接单色平行光入射。

简化装置

• $\varphi=0$，衍射光线汇集于$L_2$焦点$F$，
  光程差$\Delta=0$，故形成中央明纹中心。
• $\varphi\ne 0$，折射光线汇聚于$L_2$焦平面某点$P$，
  光程差$\Delta\ne0$，$P$处光强需要由菲涅尔公式计算。

以下讲述光强分析的两种方法：

首先只有汇聚在一点的光线才会产生干涉现象，
而只有平行光通过透镜后才汇聚到一点，
所以我们才按衍射角将光线分组，并按组讨论情况。

而一组光线汇聚到屏上的位置，
是由几何光学来决定的。

对于光线明暗，则是根据振动干涉叠加的结果而决定的。

1. 菲涅尔半波带法（半定量）

分析：

一组光线中，最大的光程差为$\Delta=AC=a\sin\varphi$。
用$\frac{\lambda}{2}$分割$\Delta$，即设$\Delta=n\cdot\frac{\lambda}{2}$，
则将该组光线分为$n$个“半波带”。

当缝宽一定时，半波带个数由衍射角确定。

对于$n$有以下三种情况：

1. 当$n=0$时，对应$\varphi=0$：
   对应中央明纹中心。
2. 当$n$为偶数时：
   相邻两半波带中对应光线$\Delta=\frac{\lambda}{2},\Delta\varphi=\pi$，
   两两相消，故为暗纹。
3. 当$n$为奇数时：
   剩余一个半波带衍射光线无法抵消，故为明纹。

故综上：

⭐明暗纹条件：

$$ ⭐ \Delta=a\sin\varphi=\left{ \begin{array}{l} 0 & （\textrm{中央明纹中心）}\ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} &\textsf{（各级明纹中心）} \ \pm k\lambda & \textsf{（暗纹中心）} \end{array}(k=1,2,\cdots) \right. $$ 注意$k\ne0$。（原因见下讨论）

明暗纹示意图

级数越高，被分出的半波带越多，抵消越多，故光强越小。
故可以解释级数越高、光强越弱的原因。

由明暗纹条件可得推论：

• 条纹角位置：
  （明暗纹条件$a$除过去）
  $\sin\varphi\approx\varphi=\left{\begin{array}{l}0 & （\textrm{中央明纹中心）}\\pm \frac{(2k+1)}{2}\frac{\lambda}{a} &\textsf{（各级明纹中心）} \\pm k\frac{\lambda}{a} & \textsf{（暗纹中心）} \end{array}(k=1,2,\cdots)\right.$

  ⚠注意：这里只适用$\varphi$很小的情况，如果角度$\varphi$很大，请用$a\sin\varphi$来推。

  • 中央明纹：$\varphi=0$
  • 其他明纹：$\varphi=\pm \frac{(2k+1)}{2}\frac{\lambda}{a} (k=1,2,\cdots)$
  • 其他暗纹：$\varphi=\pm k\frac{\lambda}{a} (k=1,2,\cdots)$

• 条纹角宽度：
  （上式子$\Delta k=1$）

  • 中央明纹：$\Delta\varphi = \frac{2\lambda}{a}$
  • 其余条纹：$\Delta\varphi = \frac{\lambda}{a}$

• 条纹位置：
  $x=f\tan\varphi$

• 衍射条纹线宽度：
  $\begin{aligned}x=f\tan\varphi \rightarrow \Delta x & =f(\tan\varphi_2-\tan\varphi_1)\approx f(\varphi_2-\varphi_1)\ & =f\cdot\Delta\varphi\end{aligned}$
  其中$f$为透镜的焦距。

  • 中央明纹：$\Delta x =f\cdot\frac{2\lambda}{a}$
  • 其他条纹：$\Delta x =f\cdot\frac{\lambda}{a}$

  注意这里采用了近似，所以实际上衍射条纹不是等间距的，只是等角宽度。

各参数如图：

讨论：

1. 为什么明暗纹条件的$k \ne 0$
   • 暗纹公式中：$k=0,\Delta=0$，为中央明纹。
   • 明纹公式中：$\frac{\lambda}{2}$还在第一级暗纹前，处于中央明纹中。
2. 单缝衍射与双缝干涉的区别
   • 单缝衍射：是两束光的叠加。光程差为半波长偶数倍$k\lambda$，代表两束光相位相同，为明纹。
     $\Delta=\left{\begin{array}{l}\pm k\lambda &\textrm{明} \ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} & \textrm{暗}\end{array}k=0,1,2,\cdots\right.$
   • 双缝干涉：是无限光的叠加。光程差为半波长偶数倍$k\lambda$，代表两堆光相互抵消，为暗纹。
     $\Delta=\left{\begin{array}{l}\pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} & \textrm{明} \ \pm k\lambda &\textrm{暗}\end{array}k=1,2,\cdots\right.$（$k\ne0$）

衍射条纹变化：

参数：波长$\lambda$、单缝宽度$a$。

运用公式：

• 中央明纹宽度：$\Delta\varphi=\frac{2\lambda}{a}$
• 其余明纹宽度：$\Delta\varphi=\frac{\lambda}{a}$

1. 波长$\lambda$一定：
   • $a\downarrow \quad \Delta\varphi \uparrow$，衍射会变得显著；
     $a\downdownarrows$，光强太弱。
   • $a\uparrow \quad \Delta\varphi \downarrow$，衍射不明显；
     $a\upuparrows$，直线传播。
2. $a$一定：
   • $\lambda\uparrow \quad \Delta\varphi\uparrow$
     白光照射：中央白光；其余条纹内紫外红，并在高层次重叠。

     单缝干涉中也是$k=1.33$，只有第一级清晰可见。

   • $\lambda\downarrow \quad \Delta\varphi\downarrow$
     浸入液体中（$n\uparrow\rightarrow\lambda\downarrow$），条纹变密集。

非垂直入射：

光程差$\Delta$会变化，
将变化后的$\Delta’$带入原条件即可得新的明暗纹条件：

2. 振幅矢量叠加法（定量）

将$a$划分为$N$个等宽($\frac{a}{N}$)的狭窄波带，
设每个波带内能量集中于图中所示光线。
每条光线在屏上引起光振动振幅相同，即$A_1=A_2=\cdots=A_N$（向量的大小相同）

• 两相邻光线光程差：$\Delta = \frac{a}{N}\sin\varphi$（不一定为$\frac{\lambda}{2}$）
• 两相邻光线相位差：$\delta = 2\pi\frac{\Delta}{\lambda} = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{a}{N}\sin\varphi$（向量的相位差恒定）

然后用多边形法则，进行$N$个大小相等、两两依次相差为$\delta$的光振动的合成。

由之前振动章节 (书P17.例1) 可知：
合成后矢量大小$A=A_1\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\approx A_1\frac{\sin(N\delta/2)}{\delta/2}\=NA_1\frac{\sin(N\delta/2)}{N\delta/2}$

再令：

• $A_0=NA_1$（代表意义：中央明纹中心($\sin\varphi=0$)的振幅（$N$个$A_1$直接相加)
• $\alpha=\frac{N\delta}{2}\xrightarrow{\delta= \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{a}{N}\sin\varphi}=\frac{\pi a \sin\varphi}{\lambda}$

则可将$A$表示为：
$$ A=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha} $$

$$ I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2 $$

结论： $$ ⭐A=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha} $$

$$ I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2 $$

其中： $$ A_0=NA_1 $$

$$ \alpha=\pi\frac{a \sin\varphi}{\lambda} $$ $A_0$代表中央明纹振幅，$I_0$代表中央明纹光强。

对$A$求$\alpha$的导数，可得极大值和极小值，
即明纹和暗纹的位置。

• 极值位置：
  提醒：$a\sin\varphi$为光程差$\Delta$
  • 极大值 - 对应各级明纹：
    $\alpha=\tan\alpha (\alpha\ne0)$
    
  • 极小值 - 对应各级暗纹：
    $\sin\alpha = 0 (\alpha\ne0)$
    • $\alpha=k\pi (k=\pm1,\pm2,\cdots)$
    • $\Delta = a\sin\varphi = k\lambda$
• 光强：
  如下图的验证。

  验证 - 菲涅尔半波带法的正确性：

  
  可见差别并不大。

五、圆孔夫琅禾费衍射

1. 圆孔夫琅禾费衍射装置

圆孔夫琅禾费衍射装置

2. 条纹特性

形状为明暗相同的同心圆环。

中央亮纹 - 爱里斑：

• 集中了大部分能量
• 角宽度为其他的两倍
• 中央明纹的半角宽度：$\Delta\varphi = 1.22\frac{\lambda}{D} (D\textrm{为圆孔直径})$（推导不能，直接给结果）
  对比单缝衍射$\Delta\varphi=\frac{\lambda}{a}$
  • $\lambda \uparrow \qquad \Delta\varphi\uparrow$，衍射现象越显著。
  • $D\downarrow \qquad \Delta\varphi\uparrow$，衍射现象越显著。

3. 光学仪器分辨率

对于平常的摄像仪器：

• 物镜 - 圆孔
• 成像原理 - 衍射图样

定义 - 瑞利准则：

第一个像的爱里斑的中心，恰与第二个像的爱里斑的边缘重合时，
或者说两个爱里斑的中心的距离，为爱里斑的半径时，
是恰能分辨两个像的临界点。
此时称$\Delta\varphi$为最小分辨角，记为$\theta_R$

例：

• 
  $\theta=\theta_R$，此时完全可以分辨出这两个物点。
• 
  $\theta<\theta_R$，此时完全分辨不出这两个物点。
• 
  $\theta>\theta_R$，此时恰好处于临界状态。

故最小分辨角：$\Delta\varphi = 1.22\frac{\lambda}{D}$

光学仪器的临界角越小，则分辨力越高，
故将光学仪器分辨率定义为： $$ \frac{1}{\Delta\varphi} $$
为$\frac{D}{1.22\lambda}$。

提高分辨率途径：

• $D\uparrow$，如天文望远镜。
• $\lambda\downarrow$

几个常见的显微镜分辨率：

• 光学显微镜：$0.2\mu\textrm{m}$
• 电子显微镜：$1\overset{\circ}{A}$（$1\overset{\circ}{A}=10^{-10}\textrm{m}$）
• 扫描隧道显微镜：$0.01\overset{\circ}{A}$

六、光栅夫琅禾费衍射

引例 - 用单缝夫琅禾费衍射来测量光波长

单缝衍射中：$\Delta\varphi_{\textrm{中央}}=\frac{2\lambda}{a}$

为了便于观察条纹，虽然可以通过减小缝宽$a$，来使条纹宽度变大，
但相应的光强会减弱，反而导致难以观察。

解决方法：
采用一系列的狭缝，每个衍射光纤叠加。

1. 分类

1. 衍射光栅（透射光栅）
   
2. 反射光栅（闪耀光栅）
   

以下将采用透射光栅讲解。

2. 透射光栅装置

透射光栅：
通常采用刻痕玻璃的方法，
在玻璃片上刻画出一系列平行等距的划痕，
刻过的地方不透光，没刻过的地方透光。

透射光栅装置

透射光栅衍射实验示意图

• $a$ - 一条未刻痕区域的长度
• $b$ - 一条刻痕区域的长度
• 光栅常数：$⭐d=a+b=\frac{l}{N}\qquad(10^{-3}\sim10^{-4}\textrm{cm})$

2. 衍射图样特点

宽大的弱暗背景中出现强度不等的明亮明窄条纹。

当复色光入射时，波长不同，角度不同，
故可以用作分光装置，形成光谱。

3. 衍射光强分析

思路：

1. 先不考虑缝宽，认为一条光缝只发出一条线光源。
   故问题变为：讨论$N$个几个线光源的干涉。
2. 再考虑缝宽。

Step.1 不计缝宽

• 光线光振动的振幅一样：$A_1=A_2=\cdots=A_n$
• 相邻光线光程差：$\Delta=d\sin\varphi$（与之前不同，这里不是$\frac{a}{N}\sin\varphi$，没有$N$，故不能令$\beta=\frac{N\delta}{2}$）
• 相邻光线相位差：$\delta=\Delta\varphi=\frac{d\sin\varphi}{\lambda}2\pi$

故又可以转换为向量合成：

令：$\beta=\frac{\delta}{2}$

则： $$ A=A_1\cdot\frac{\sin N\beta}{\sin\beta} $$

$$ I=I_1\cdot(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2 $$

对其求极值，可得明暗纹的关系式。

• 最大值 - 中央明纹位置：$\beta=k\pi$
• 极小值 - 暗纹位置：$\sin N\beta = 0$
• 极大值 - 明纹位置：$\tan N\beta = N \tan\beta$

对于$(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2$，函数大致如下：

最大值 - 中央明纹位置：$\beta=k\pi$
对应向量合成图如下：

可得如下式子：

• 主明纹位置公式（光栅公式）： $$ ⭐d\sin\varphi = \pm k\lambda\qquad(k=0,1,2,\cdots) $$
  • 位置：$\sin\varphi=\pm k\frac{\lambda}{d}$
  • 亮度：$I=N^2I_1$（$N$是光栅刻痕数目）
  • 最高级次：$k_m < \frac{d}{\lambda}$
    $\because |\sin\varphi| < 1$
    $\therefore k_m < \frac{d}{\lambda}$
    所以如果用红光照射可能看到$3$条，而紫光则可能看到$5$条。
• 主明纹角宽度：$\Delta\varphi=\frac{2\lambda}{Nd}(\Delta k’=2)$
  注意这里可不是$k$级和$k+1$级之间的长度，
  而是在$kN-1$和$kN+1$级暗纹之间的长度。
  可见：$N\uparrow$，主明纹越细窄、明亮，故光栅的分辨本领很高。
• 变化 - 当斜入射时：
  光栅公式：$d\sin\varphi\pm\sin\theta=k\lambda$($\theta$为斜入射角)

极小值 - 暗纹位置：$\sin N\beta = 0$
对应向量合成图如下：

可得如下关系：

• 暗纹位置公式： $$ \sin\varphi=\pm \frac{k’}{N}\cdot\frac{\lambda}{d}\qquad(k’\ne Nk) $$ ⚠注意$k’\ne Nk$，否则就是明纹。

$k$和$k’$的取值举例：

可见相邻两条主明纹间有$N-1$条暗纹。

极大值 - 明纹位置：$\tan N\beta = N \tan\beta$ 对应向量合成图如下：

由$I=I_1(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2$的函数图像可知：
$N=7$时，

$N=9$时，

故两条主极大之间，
有$N-1$条暗纹，
有$N-2$条次极大。

由于$N$一般很大，
所以次极大的光强一般不超过主极大的$\frac{1}{23}$，
故两个主极大之间近似看成宽大的暗背景。

分辨率：
对于不同波长的两束光，其恰能分辨的情况如下：

需要同时满足：
$\left{\begin{array}{l}d \sin \varphi=k \lambda_{1} \d \sin \varphi=\frac{k N-1}{Nd} \cdot \lambda_{2}\end{array}\right.$
联立解得：
$\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{1}{kN}$

定义分辨率： $$ R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=kN $$

可见只与刻痕数$N$有关，呈正比。

小结：

• 两个主极大间：$N-1$个暗纹，$N-2$条次极大。
• 明纹位置（光栅公式）：$d\sin\varphi=\pm k\lambda\qquad(k=0,1,2,\cdots)$
• 暗纹位置：$d\sin\varphi=\frac{k’}{N}\lambda\qquad(k’\ne Nk)$

拓展 - 为什么公式与单缝衍射差不多，最终结果差别巨大

需要明确的是，单缝中有极限的思想。
我们将划分个数$N\to\infty$，导致$\delta\to0$，才能使得分母的$\sin(\delta/2)\approx(\delta/2)$。

公式仍有一点不同，我们强行将其化为相同格式，
具体如下图：

Step.2 考虑缝宽

每个缝的单缝衍射条纹彼此重合，故影响一致。

对于缝宽$a$：

• 若分为偶数个半波带： 缝内：自身干涉相消$I_i=0$，
  故即使缝间干涉相长，合成的也是$I=N^2I_i=0$，
  故主极大不出现，称为“缺级”现象。
• 分为奇数个半波带： 缝内光线部分干涉相消，
  且条纹级数越高，相消越多。
  故越级数高越暗，称为“光亮调制”。

$$ I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2\cdot(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2 $$

• $(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2$ - 单缝衍射因子（$\alpha=\frac{\pi a\sin\varphi}{\lambda}$）
• $(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2$ - 多缝干涉因子（$\beta=\frac{\pi d\sin\varphi}{\lambda}$）

• a - 单缝
• b - 光栅 - 不考虑缝宽
• c - 光栅 - 考虑缝宽后

故影响光栅衍射光强的因素：

• 缝宽$a$
• 光栅常数$d=a+b$
• 衍射角$\varphi$

缺级现象：

需要满足如下条件

• 光栅中 - 主明纹：$d\sin\varphi=(a+b)\sin\varphi=\pm k\lambda (k=0,1,2,\cdots)$
• 单缝中 - 暗明纹：$a\sin\varphi=\pm k’\lambda (k’=1,2,\cdots)$

联立得，缺级： $$ k=\pm \frac{d}{a}\cdot k’(k’=1,2,\cdots) $$

中央明纹区的主极大条数：

对应$k’=1$，故$k=\frac{d}{a}$
若为整数，则中央明纹区$2\frac{d}{a}$条次极大$+1$条中央明纹$-2$条缺级$=2\frac{d}{a}-1$。
如果不为整数，则不会有缺级，向上取整后可以把减的$2$补回来。

则中央明纹区主极大条数：$2\lceil\frac{d}{a}\rceil-1$（向上取整）

七、晶格衍射（X光衍射）

• 单晶：分立开的
• 多晶、孪晶：连续的

布拉格公式：

• 掠射角$\theta$：X射线到晶面时与晶面夹角。
• 晶格常数$d$：两层晶体分子的距离。

故可得光程差：$\Delta=2d\sin\theta$

明纹（加强）条件： $$ 2d\sin\theta=k\lambda (k=0,1,2,\cdots) $$