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概率论中有关总体的认识……

总体是研究对象的一个不确定的属性……

文章字数:2444
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有关总体

  • 总体:研究对象的一个不确定属性

关键词:对象、属性、不确定。

总体是由若干个个体(即上面的对象)组合而成的,且个体数目是确定的,可以记为\(N\)
(区别于样本容量\(n\),这里还没涉及到样本!先不管样本这个东西!)
总体里可能有\(2\)个个体,可能有\(n\)个个体,可能有\(\infty\)个个体,总之是确定的
不确定的只是个体的某个属性。(身高、分数、或者如果个体就是没有实际意义的数字,属性就是数值)

我们用\(X\)代表总体,这个\(X\)是将总体中所有个体的属性抽象表达,
因此如果要真正完全表达这个总体,应该用个\(N\)元组\((X_1,X_2,\cdots,X_N)\)
那么\(X_i\),则代表其中一个个体的属性。

回到总体的定义,必须是个不确定的属性。
因此判断某个说法是不是总体,就任选一个个体,看这个属性是否不确定,
也就是如果我们不具体抽样调查,这个属性\(X_i\)取多少是随机的

举例:
✔️的代表是总体的表述,❌的则不是。

  • 学生的身高 — ✔️
    \(X_i=200,100,150\cdots\)均可以,有无限取值。

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)取合适的值都可以,是随机的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(学生)\(i\)的属性(身高)\(X_i\)不一样。
  • 学生的平均身高 — ❌
    因为总体的每一个个体都是确定的,这里“平均身高”只能是一个具体的数!比如\(175\)米。
    因此该总体\((X_1,X_2,\cdots,X_N)\),每一个\(X_i\)均是确定的值\(175\)

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)就是\(175\),是确定的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(学生)\(i\)的属性(平均身高)\(X_i\)都一样。
  • 若干产品,每一个产品的好坏情况 — ✔️
    \(X_i=\textrm{好}(0),\textrm{坏}(1)\),只有这两个取值。

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)取个\(0,1\)都可以,是随机的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(每一个产品)\(i\)的属性(好坏情况)\(X_i\)不一样。
  • 若干产品,这一堆产品的次品数 — ❌
    因为总体的每一个个体都是确定的,这里“次品数”只能是一个具体的数!比如\(50\)个。
    因此该总体\((X_1,X_2,\cdots,X_N)\),每一个\(X_i\)均是确定的值\(50\)

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)就是\(50\),是确定的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(这一堆产品)\(i\)的属性(次品数)\(X_i\)都一样。
  • \(50\)次硬币,进行一次实验,正面朝上次数 — ✔️
    \(X_i=0,24,25,26,50,\cdots\),有无限取值。

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)取合适的值都可以,是随机的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(抛50次硬币后正面朝上的硬币)\(i\)的属性(好坏情况)\(X_i\)不一样。
  • \(50\)次硬币,进行一次实验,是否正面朝上\(25\)次 — ❌
    因为这一次实验,总体的每一个个体都是确定的,
    这里“是否正面朝上\(25\)次”只能是一个具体的值!只能是否(\(0\))或是(\(1\)),比如为否(\(0\))。
    因此该总体\((X_1,X_2,\cdots,X_N)\),每一个\(X_i\)均是确定的值否(\(0\))。

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)就是\(0\),是确定的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(这一次实验)\(i\)的属性(是否正面朝上\(25\)次)\(X_i\)都一样。

对于这些总体,我们会发现共性是:每个个体都是确定的
因此这些总体也称为“静态总体”。

静态总体没有“时间”这一维度,
总体的每个个体无论如何都不会变化,
如:

  • 某学校某年测量的学生身高,不会变。
  • 若干产品某次检测的品质,不会变。

在前面我说总体中个体个数时。没有说可能有\(1\)个个体,
原因就是如果只有一个个体,这个属性就是确定的了。

我们研究:某产品(对象)的好坏情况(属性),
如果只有一个个体,那么总体就是\((X_1)\)
他每个个体,属性是确定的(因为只有一个个体,所以属性就是好或坏)。
我们不管去不去抽样调查,这个个体是好的就是好的,是坏的就是坏的。

即便是著名的“薛定谔的猫”,即便我们不去看猫,这个猫是死是活他也是确定的,
不管去不去抽样调查(观测),他的“生死”这一属性也是确定的。(论外:爱因斯坦便是如此认为)


与之相对的,就有“动态总体”这一说,
也就是:每个个体都是不确定的。

动态总体加入了“时间”这一维度,
总体的个体会变化,
如:

  • 某学校每年都测一次学生身高,是哪一年测,每个学生升高就不一样,会变。
  • 若干产品每小时都检测一次品质,是哪一小时检测,每个产品的品质就不一样,会变。

因此对于动态总体,举例为:

  • 若干产品,每次抽\(n\)(5)件,这\(n\)(5)件产品的次品数(\(n\)必须也只能是个确定的常数,这里举例为\(5\)) — ✔️
    \(X_i=0,1,2,3,4,5\),有\(6\)个取值。

    而注意:这里的个体个数\(N\),就是\(\infty\),因为我们可以进行无限次实验(每次抽5件抽无限次)

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)取合适的值都可以,是随机的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(某一次抽的这\(5\)件)\(i\)的属性(次品数)\(X_i\)不一样。
  • \(50\)次硬币,重复进行\(n\)次实验,其中结果为正面朝上\(25\)次的实验次数 — ✔️
    \(X_i=0,1,2,\cdots,n\),有\(n+1\)个取值。

    而注意:这里的个体个数\(N\),就是\(\infty\),因为我们可以进行无限次实验(每次抛50次硬币抛无限次)

    • 我们不去抽样调查,\(X_i\)取合适的值都可以,是随机的。
    • 或者说我们多次取一个个体,每个个体(某一时刻重复进行的\(n\)次实验)\(i\)的属性(满足条件的次数)\(X_i\)不一样。