有关总体

• 总体：研究对象的一个不确定的属性。

关键词：对象、属性、不确定。

总体是由若干个个体（即上面的对象）组合而成的，且个体数目是确定的，可以记为$N$。
（区别于样本容量$n$，这里还没涉及到样本！先不管样本这个东西！）
总体里可能有$2$个个体，可能有$n$个个体，可能有$\infty$个个体，总之是确定的。
不确定的只是个体的某个属性。（身高、分数、或者如果个体就是没有实际意义的数字，属性就是数值）

我们用$X$代表总体，这个$X$是将总体中所有个体的属性抽象表达，
因此如果要真正完全表达这个总体，应该用个$N$元组$(X_1,X_2,\cdots,X_N)$。
那么$X_i$，则代表其中一个个体的属性。

回到总体的定义，必须是个不确定的属性。
因此判断某个说法是不是总体，就任选一个个体，看这个属性是否不确定，
也就是如果我们不具体抽样调查，这个属性$X_i$取多少是随机的。

举例：
✔️的代表是总体的表述，❌的则不是。

• 学生的身高 — ✔️
  $X_i=200,100,150\cdots$均可以，有无限取值。

  • 我们不去抽样调查，$X_i$取合适的值都可以，是随机的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（学生）$i$的属性（身高）$X_i$不一样。

• 学生的平均身高 — ❌
  因为总体的每一个个体都是确定的，这里“平均身高”只能是一个具体的数！比如$175$米。
  因此该总体$(X_1,X_2,\cdots,X_N)$，每一个$X_i$均是确定的值$175$。

  • 我们不去抽样调查，$X_i$就是$175$，是确定的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（学生）$i$的属性（平均身高）$X_i$都一样。

• 若干产品，每一个产品的好坏情况 — ✔️
  $X_i=\textrm{好}(0),\textrm{坏}(1)$，只有这两个取值。

  • 我们不去抽样调查，$X_i$取个$0,1$都可以，是随机的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（每一个产品）$i$的属性（好坏情况）$X_i$不一样。

• 若干产品，这一堆产品的次品数 — ❌
  因为总体的每一个个体都是确定的，这里“次品数”只能是一个具体的数！比如$50$个。
  因此该总体$(X_1,X_2,\cdots,X_N)$，每一个$X_i$均是确定的值$50$。

  • 我们不去抽样调查，$X_i$就是$50$，是确定的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（这一堆产品）$i$的属性（次品数）$X_i$都一样。

• 抛$50$次硬币，进行一次实验，正面朝上次数 — ✔️
  $X_i=0,24,25,26,50,\cdots$，有无限取值。

  • 我们不去抽样调查，$X_i$取合适的值都可以，是随机的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（抛50次硬币后正面朝上的硬币）$i$的属性（好坏情况）$X_i$不一样。

• 抛$50$次硬币，进行一次实验，是否正面朝上$25$次 — ❌
  因为这一次实验，总体的每一个个体都是确定的，
  这里“是否正面朝上$25$次”只能是一个具体的值！只能是否($0$)或是($1$)，比如为否($0$)。
  因此该总体$(X_1,X_2,\cdots,X_N)$，每一个$X_i$均是确定的值否($0$)。

  • 我们不去抽样调查，$X_i$就是$0$，是确定的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（这一次实验）$i$的属性（是否正面朝上$25$次）$X_i$都一样。

对于这些总体，我们会发现共性是：每个个体都是确定的。
因此这些总体也称为“静态总体”。

静态总体没有“时间”这一维度，
总体的每个个体无论如何都不会变化，
如：

• 某学校某年测量的学生身高，不会变。
• 若干产品某次检测的品质，不会变。

在前面我说总体中个体个数时。没有说可能有$1$个个体，
原因就是如果只有一个个体，这个属性就是确定的了。

我们研究：某产品（对象）的好坏情况（属性），
如果只有一个个体，那么总体就是$(X_1)$，
他每个个体，属性是确定的（因为只有一个个体，所以属性就是好或坏）。
我们不管去不去抽样调查，这个个体是好的就是好的，是坏的就是坏的。

即便是著名的“薛定谔的猫”，即便我们不去看猫，这个猫是死是活他也是确定的，
不管去不去抽样调查（观测），他的“生死”这一属性也是确定的。（论外：爱因斯坦便是如此认为）

与之相对的，就有“动态总体”这一说，
也就是：每个个体都是不确定的。

动态总体加入了“时间”这一维度，
总体的个体会变化，
如：

• 某学校每年都测一次学生身高，是哪一年测，每个学生升高就不一样，会变。
• 若干产品每小时都检测一次品质，是哪一小时检测，每个产品的品质就不一样，会变。

因此对于动态总体，举例为：

• 若干产品，每次抽$n$(5)件，这$n$(5)件产品的次品数（$n$必须也只能是个确定的常数，这里举例为$5$） — ✔️
  $X_i=0,1,2,3,4,5$，有$6$个取值。

  而注意：这里的个体个数$N$，就是$\infty$，因为我们可以进行无限次实验（每次抽5件抽无限次）

  • 我们不去抽样调查，$X_i$取合适的值都可以，是随机的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（某一次抽的这$5$件）$i$的属性（次品数）$X_i$不一样。

• 抛$50$次硬币，重复进行$n$次实验，其中结果为正面朝上$25$次的实验次数 — ✔️
  $X_i=0,1,2,\cdots,n$，有$n+1$个取值。

  而注意：这里的个体个数$N$，就是$\infty$，因为我们可以进行无限次实验（每次抛50次硬币抛无限次）

  • 我们不去抽样调查，$X_i$取合适的值都可以，是随机的。
  • 或者说我们多次取一个个体，每个个体（某一时刻重复进行的$n$次实验）$i$的属性（满足条件的次数）$X_i$不一样。