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大学物理 下——第十四章……

Ep.14 - 波动光学……

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第十四章 波动光学

第一节 光的偏振

一、光的偏振现象 - 横波性

  • 偏振(polarization):
    振动方向对于传播方向的非对称分布。

对称分布,指无论偏振片怎样放置,波都能通过;
而非对称则是偏振片沿一个角度放置,会使得光完全不能通过。
只有横波才有偏振现象,是区别于纵波的重要性质。

  • \(\rightarrow\)电磁波\(\rightarrow\)横波

概念 - 光矢量:

引起视觉和化学效应的是电磁场的电场强度矢量\(E(t)\)
故将该矢量成为光矢量(light vector)。
图 1

注意:光的电矢量只与传播方向垂直,
所以光矢量可以在与传播方向垂直平面的任意方向
图 2

  • 偏振态(polarization state):
    光矢量\(E\)在垂直于传播方向的平面内,可以有不同的振动状态,称为光的偏振态。

二、光的五种偏振态

图 3

1. 自然光

  • 自然光(Natural light):
    各方向光振动的振幅相同,从而强度相同,这样的光称作自然光。

一般即指普通光源发出的光。

对于每一个光波列:均为横波——可偏振。
但因为原子发光的独立性和随机性,一段观测时间内电矢量的统计平均值在空间和时间分布均有均匀性。 使得自然光并不是偏振光

  • 空间分布的均匀性:光矢量对传播方向均匀对称分布。——故整体非偏振
  • 时间分布的均匀性:光振动各个朝向的振幅大小相同。

图 4

  • 图示: 图 5

2. 线偏振光

  • 线偏振光(Linearly light):
    只有某一固定方向的光振动的光,称为线偏振光。

光振动只有一个确定方向(只有一个振动面)。

  • 振动面:光矢量的振动方向与光的传播方向构成的平面。 图 6
  • 图示:
    图 7

3. 部分偏振光

是介于线偏振光和自然光之间的一种偏振光,
在振动面内各个光振动都有,但光强不等,光振动在某方向上有优势,
正交分解后可以得到两个互相垂直、互相独立但光振动的振幅不相等。

故可以当作“自然光”+“线偏振光”

  • 图示:
    图 10

4. 椭圆、园偏振光

虽然只有一个光矢量,但其会旋转,
故有无数个振动面。

端点轨迹的截面为椭圆,则是椭圆偏振光,
为圆,则是圆偏振光。

可以根据之前的“李萨如图形”,分解为两个方向上的旋转矢量。

圆偏振光 1
圆偏振光 1

椭圆偏振光 1
椭圆偏振光 1

在圆偏振光中,
当顺着光的传播方向看,电场矢量是逆时针旋转时,称为“左旋圆偏振光”,
顺时针旋转称为“右旋圆偏振光”。

下部分引问:
如何获得偏振光?即如何起偏?

  1. 利用光在各向异性介质中的传播。
    1. 偏振片
    2. 双折射现象
  2. 利用光在两种介质界面上的反射和折射。

三、偏振片起偏 马吕斯定律

1. 偏振片起偏原理

利用晶体的二相色性,只让某一方向(称为偏振化方向)振动的光通过,而吸收其他方向的光振动。
将透明薄片涂有二相色性材料,即形成偏振片。

2. 效果

“起偏”,得到与“偏振化方向”相同的线偏振光,称为“起偏器”。

若在其后再放置一个偏振片,并不断旋转,
则可以检测是否是偏振光,起到“检偏”效果,称为“检偏器”。

3. 马吕斯定律

反应光线通过偏振片后的强度变化规律。

  • 自然光:

    \[I_0 \rightarrow I=\frac{1}{2}I_0 \]

    • 线偏振光:

    \[I_0 \rightarrow I=I_0\cos^2\alpha \]

    其中\(\alpha\)为线偏振光振动方向与偏振化方向的夹角。
    夹角图示 1
    夹角图示

  • 部分偏振光:

    \[I_0 = I_1+I_2 \rightarrow I=\frac{1}{2}I_1 + I_2\cos^2\alpha \]

四、反射折射起偏 布儒斯特定律

1. 反射折射起偏原理

当光线(自然光)沿界面发生反射和折射时,光的偏振状态会发生改变。

  1. 一般状态入射:
    反射光与折射光都是部分偏振光。 一般状态入射
  2. 入射角\(i\)满足某一特殊角度\(i_0\)
    反射光是垂直于入射面线偏振光,折射光仍是部分偏振光。 特殊角度入射 1

2. 布儒斯特定律

上述的\(i_0\)称为布儒斯特角(起偏角),
满足条件:

\[\tan i_0 = \frac{n_o}{n_i} \]

  • \(n_o\)代表出射(折射)处介质的折射率,
  • \(n_i\)代表入射处介质的折射率。

\(\because \frac{\sin i_0}{\sin \gamma}=\frac{n_o}{n_i}\)(折射定律)
得:

\[i_0+\gamma = \frac{\pi}{2} \]

3. 光强关系

反射光只包含垂直于入射面的振动的一部分,光强较弱,\(I < \frac{1}{2}I_0\)

但可以通过多次反射,使\(I\to I_0\)
此时起偏装置由许多平行玻璃片组成,称为“玻璃片堆”。

玻璃片堆 1
玻璃片堆

拓展 - 比较起偏角和全反射临界角:
图 20

五*、双折射现象

  • 双折射现象(birefringence):
    当光进入各向异性介质(如方解石)时,介质中出现两束折射光线的现象。

对于两束折射光,可分为:

  • o光(寻常光):遵循折射定律,与入射光线在同一平面。
    \(\frac{\sin i}{\sin \gamma}=n_0\),为常量。
  • e光(非常光):不遵循折射定律,一般不在入射面内。
    \(\frac{\sin i}{\sin \gamma'}=n_e\),不为常量。

角度定义 1
角度定义

e光不在入射面示意(垂直入射) 1
e光不在入射面示意(垂直入射)

六、检偏及其规律

检测光线是否为线偏振光。

方法:旋转检偏器,观测出射光强的变化情况。

判断方法 1
判断方法


第二节 光的干涉

基础知识点:

  • 波的干涉条件、现象和能量分布

一、相干光

  • 相干光(coherent light):
    当满足相干条件:

    1. 振动方向相同
    2. 频率相同
    3. 相位差恒定
    4. 满足空间相干性
    5. 满足时间相干性

    这样的两束光在空间相遇时,会出现光强(明暗)在空间“非均匀”“稳定”分布
    这种现象称为光的干涉
    这两束光称为相干光

1. 光

  • 狭义:可见光,电磁波中的一个狭窄波段
  • 广义:电磁波

电磁波谱 1
电磁波谱

相关名词:

  • 光波:交变电磁场在空间传播。
  • 光矢量\(\vec{E}\):引起视觉和感光作用。
  • 光振动\(\vec{E}(t)\):方向、大小随\(t\)周期性变化。

    \[E=E_0\cos(\omega t+\varphi) \]

    • 光强:\(I \propto E_0^2\)(注意这里的\(E\)是光振动的振幅)
  • 相对光强:\(I = E_0^2\)

2. 光波与机械波相干性比较

相同处:

  • 相干条件相同(见上)
  • 光强分布:

    \[I=I_1+I_2+\underline{2\sqrt{I_1I_2}\cos \Delta\varphi} \]

    (划线部分为干涉项)

    \[\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-2\pi\frac{r_2-r_1}{\lambda} \]

不同处:

  • 机械波源与光波波源特征不同
    • 机械波源:容易满足相干条件。
    • 光波波源:难以满足相干条件。

因此对于普通光源,难以满足相干条件。

拓展 - 普通光源发光机制:

被激发到较高能级的原子跃迁到低能级时,
以光的形式辐射出多余能量。

一个原子,一次跃迁,只能发出一个频率、振动方向和初相一定的光波波列,
并且该光波列有一定的波列长度,只持续一定的时间\(L=\tau c (\tau\approx 10^{-8}s)\)

发光特点:

  1. 自发辐射,具有间歇性随机性
  2. 原子发光的时间很短,只有\(10^{-8}\)秒。
  3. 各原子发光是完全随机独立的,无固定相位差。

正因为原子发光的时间极短,
所以在人的观测反应时间内,干涉现象为平均结果,即:

\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\frac{1}{\tau}\int_0^\tau\cos\Delta\varphi \rm d t=I_1+I_2 \]

为均匀分布,非相干叠加,故观测不到干涉现象。

则:两普通光源或同一光源的不同部分是不相干的。

拓展 - 发展现状:

  1. 激光 激光:受激辐射,与普通光源产生机理不同,具有相干性
    其频率、相位、偏振态(振动方向)、转播方向完全相同。
  2. 快速光电接收器件 精确到皮秒,故可以观测到十分短暂的干涉,甚至观测到两个独立光源的干涉。

二、从普通光获得相干光

以下两个方法都能保证初相位和频率相同。

1. 分波面法

对于同一个波阵面

在光源发出的同一波列的波面上,取出两个次波源,
对于同一个波阵面上的两点,它们的所有振动状态完全相同,
由于它们相位差保持恒定(即便相位会变化),所以构成相干波源。

分波面法 1
分波面法

典型应用:杨氏双缝干涉。

2. 分振幅法

利用光在两种透明介质交界面的反射和折射,
使两束光线来自同一个波列,它们的所有振动状态也完全相同。 先将光的振幅(能量)分为两部分,再引导他们相遇形成干涉。

分振幅法 1
分振幅法

三、光程 光程差

主要就是把只能在同一介质中用的公示,推广到不同介质也能用。

1. 光程

  • 光程(optical path):
    将光在介质中的几何路程与介质折射率的乘积定义为等效真空程,称为“光程”。

    \[d'=nd \]

光在折射率为\(n\)的介质中前进\(d\)距离引起的相位改变,
与在真空中前进\(nd\)距离引起的相位改变相同。

因此可以将光在不同介质中走过的路程,折算到在真空中的路程加以比较。

2. 光程差

引入:
用相位来表示光强、干涉强弱状态不好想象,
因此想办法转换为一个距离度量,用空间量来表示。

通过光程差来简化相位差的表达。

推导过程:

相干光源两束光在\(P\)点相遇时,其光振动取决于两个光振动的相位差

\[\Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1-\frac{2\pi(r_2-r_1)}{\lambda} \]

为了简化讨论,一般都控制初相差为\(0\),即:

\[\Delta\varphi=\frac{2\pi(r_1-r_2)}{\lambda} \]

在不同介质中,波长会变化,如下图:
图 4
则相位差应表示为:

\[\Delta\varphi=2\pi\frac{r_1}{\lambda}-2\pi(\frac{r_2-d}{\lambda}+\frac{d}{\lambda'}) \]

\(\because \lambda'=\frac{u}{v}=\frac{\frac{c}{n}}{v}=\frac{\lambda}{n}\),可以转化为:

\[\Delta\varphi=2\pi\frac{r_1}{\lambda}-2\pi(\frac{r_2-d}{\lambda}+\frac{nd}{\lambda}) \]

其中\(nd\)刚好对应上述的“光程”。

将两束光的光程之差定义为光程差,用\(\Delta\)表示。

\[⭐\qquad\Delta\varphi=2\pi\frac{\Delta}{\lambda} \]

上推导过程中,\(\Delta=r_1-(r_2-d+nd)=r_1-[r_2+(n-1)d]\)

计算光程差的常见情况:

  1. 在真空中放入厚度为\(d\)折射率为\(n\)的介质,
    附加(多出来的)光程差:\(nd-d=(n-1)d\)
  2. 光从光疏介质射到光密介质并反射时,发生半波损失
    附加光程差:\(\frac{\lambda}{2}\)(不做证明,但要牢记)
  3. 薄透镜物点与像点间等光程,即经过透镜每一条光线\(s_i\)是等光程的,
    不引起附加光程差。
    图 5
    虽然两侧的光线透镜里走的短,但真空中走的多;中间的光线透镜里走的多,但真空里走的短。

3. 明暗条纹条件

因此,相消和相长的条件可以表示为:

\[\Delta \varphi=\varphi_{2}-\varphi_{1}+2\pi\frac{\Delta}{\lambda}=\left\{ \begin{array}{l} \pm 2 k\pi & \textsf{(相长)}\\ \pm(2 k+1)\pi &\textsf{(相消)} \end{array} \right.\qquad(k=0,1,2,\cdots ) \]

又因为一般调节\(\varphi_1=\varphi_2\),故:

\[⭐\qquad \Delta=\left\{ \begin{array}{l} \pm k\lambda & \textsf{(明)}\\ \pm \frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{(暗)} \end{array} \right.\qquad(k=0,1,2,\cdots ) \]

四、分波面法 - 双缝干涉 空间相干性

1. 杨氏双缝干涉

① 装置

装置图 1
装置图

\(O\)点为“屏中心”。

要求:

  • \(d \ll D\)
    故所有光线与水平轴的夹角\(\theta\)都很小。
    同时\(d\)很小,更容易使传到\(S_1,S_2\)的波来自同一个波列。
  • \(S_1, S_2\)等距分布在\(S\)两侧。

光线流程:单色光→单缝→双缝→观察屏。

\(S\)的作用是提供点光源,发出柱面波。
如果直接为点光源可以不用\(S\)屏。

原理 - 惠更斯原理:

介质中任意波阵面上的各点都可以看作是发射子波的波源,
其后任一时刻,这些子波的包络面就是新的波阵面

② 明暗纹位置

如上图,记观察屏点\(P\)距离屏中心\(O\)的距离为\(x\)
则:

\[⭐\qquad x=\left\{ \begin{array}{l} \pm k\frac{D}{d}\lambda & \textsf{(明)}\\ \pm \frac{2k+1}{2}\frac{D}{d}\lambda &\textsf{(暗)} \end{array}\qquad(k=0,1,2,\cdots) \right. \]

推导过程见下:

推导过程 - 光程差\(\Delta\)
\(\Delta=r_2-r_1\approx d\sin\theta\approx d\frac{x}{D}(\because d \ll D, r_1 \parallel r_2)\)
带入光程差公式:
\(\Delta=d\frac{x}{D}=\left\{\begin{array}{l}\pm k\lambda & \textsf{(明)}\\\pm \frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{(暗)}\end{array}\qquad(k=0,1,2,\cdots)\right.\)

转换后即为上式。

③ 条纹特点
  • 形态:平行于缝的等亮度等间距、明暗相间的条纹。
  • 条纹亮度:
    • 亮处:\(I_{max}=4I_0\)
    • 暗处:\(I_{min}=0\)
  • 条纹宽度:

    \[⭐ \Delta x = \frac{D}{d}\lambda \]

    注意这里有近似,所以实际上是不等宽度的。
    • \(\lambda\)一定:\(\Delta x \propto D\)\(\Delta x \propto \frac{1}{d}\)
      观察屏\(D\)越远、双缝间隙\(d\)越小 → 条纹\(\Delta x\)越宽。
    • \(d, D\)一定:\(\Delta x \propto \lambda\)
      波长\(\lambda\)越长(频率\(\nu\)越小) → 条纹\(\Delta x\)越宽。
      即红光的条纹宽度大于紫光:\(\Delta x_{\textsf红}>\Delta x_{\textsf{紫}}\)

拓展 - 白光照射双缝:

  • 零级明纹:白光。
  • 其余明纹:彩色光谱(内紫外红)
    高级次会产生重叠(这一级\(k\)的红色重叠下一级\(k+1\)的紫色)

白光照射双缝示意图 1
白光照射双缝示意图

重叠,即\(k\lambda_\textrm{红}=(k+1)\lambda_\textrm{紫}\)
解得\(k=1.33\)
只有第一级未重叠,清晰可见。

2. 其他分波阵面干涉

均利用反射或折射形成的虚像。

① 菲涅尔双棱镜

菲涅尔双棱镜 1
菲涅尔双棱镜

\(S\)向上发发出的两束距离最远的光线,其延长线焦点的虚像可视为新的点光源\(S_1\)
同理,下方也会形成一个虚像点光源\(S_2\)

则在阴影部分,会形成与“双缝干涉”一样效果的干涉条纹。

② 菲涅尔双面镜

菲涅尔双面镜 1
菲涅尔双面镜

原理与菲涅尔双棱镜差不多一样。

③ 洛埃镜(劳埃德镜)

劳埃德镜 1
劳埃德镜

\(M\)为一个水平放置的反射镜,
点光源\(S_1\)入射时,一部分直接打到\(P\)屏上,
另一部分通过\(M\)反射打到\(P\)屏上。

反射光线同样可以看作虚像点光源\(S_2\)发出的光线,
故阴影区也大致跟杨氏双缝干涉现象一样。(不完全一样,见下)


但当我们将\(P\)屏移到与\(M\)右端重合时,
会发现按理论分析出中央条纹应该是明纹,
实际上却是暗纹。

这是因为发生了“半波损失”的原因,相位突变了\(\pi\)

  • 半波损失
    在正入射(垂直入射)和一般斜入射情况下。

    • 光疏入射到光密,会有半波损失。 对于反射光线,会有\(\pi\)的相位突变,光程差会有\(\frac{\lambda}{2}\)的变化。
    • 光密入射到光疏,没有半波损失。

    在掠入射(入射角将近\(90\degree\))的情况下,反射光无论如何都有半波损失。
    但平时讨论的干涉衍射的情况很少出现掠入射,所以不用考虑。

    对于透射光,无论如何都不会发生半波损失

⚠ - 因此对于反射形成的干涉问题,要考虑是否有半波损失

3. 空间相干性

引入:

考虑是否能通过增加单缝的宽度,使透过的光源更多,来提高干涉条纹的亮度(光强)?

先考虑将点光源沿竖直方向移动,对干涉条纹的影响。
如下图:
点光源移动对干涉条纹影响 1
点光源移动对干涉条纹影响

因此增加单缝长度(或把单缝换为点光源,增加点光源宽度),
这些光源各自是非相干光源, 会使得不同相位的干涉条纹非相干叠加在一起。

双缝干涉的空间相干性 1
双缝干涉的空间相干性

\(\Delta=\frac{\lambda}{2}\)时,干涉条纹完全模糊(各处光强一样),
由这个临界点计算得到单缝缝宽的临界值:
图 16

\[⭐ b < \frac{B}{d}\lambda \]

也可以转换为波阵面\(d\)的关系式:

\[d < \frac{B}{b}\lambda \]

因此给出定义:

  • 空间相干性(spatial coherence): 光缝宽度\(b\)(或者宽度为\(b\)的普通光源),
    他的波阵面距离\(d\),需要小于\(\frac{B}{b}\lambda\),才能产生干涉现象。
    这一性质称为“空间相干性”。

五、分振幅法 - 薄膜干涉 时间相干性

1. 一般性讨论

① 明暗条纹分析

初始装置:

等厚干涉装置 1
等厚干涉装置

  • 参数:
    • \(e\) - 等厚薄膜的宽度(很小)
    • \(n_1\) - 薄膜外介质的折射率(薄膜上下表面)
    • \(n_2\) - 薄膜的折射率
  • 物体:
    • \(L\) - 透镜,用于将平行的干涉光线汇聚在一起
    • \(P\) - 观察屏,在透镜焦平面上

第一对相干光 - 反射干涉光:

反射干涉光 1
反射干涉光

  • 角度:

    • \(i\) - 入射角
    • \(\gamma\) - 折射角
  • 光波列:

    • \(1\) - 入射光
    • \(2\) - 直接反射光
    • \(3\) - 间接反射光(依次经过一次折射、一次反射、一次折射出射的光线)

    根据前面的“分振幅法”,可以知道\(2\)\(3\)光线为相干光。

  • \(P\) - 反射干涉光相遇点


第二对相干光 - 透射干涉光:

透射干涉光 1
透射干涉光

  • 光波列:

    • \(4\) - 第一束透射光(经过两次折射)
    • \(5\) - 第二束透射光(依次经过一次折射、一次反射、一次反射、一次折射出射的光线)

    同理,\(4\)\(5\)也为相干光。

  • 如果再在下方加个同样的透镜与观察屏,
    \(4\)\(5\)会相交于\(P'\)点,
    为透射干涉光相遇点。


对于\(P\)\(P'\)点的干涉后光强,取决于光程差\(\Delta\)

  • 对于反射干涉光:
    图 20

    分析:

    \(l_{DLP}=l_{CLP}\) \(\therefore \Delta_\textrm{反}=n_2(AB+BC)-n_1AD\)

    但为反射,还需要考虑半波损失。

    • \(n_2>n_1\)时:

      • 对于光线\(2\),有\(1\)个半波损失。
      • 对于光线\(3\),没有半波损失。

      因此总的来说会有一个半波损失。

    • \(n_2

      • 对于光线\(2\),没有半波损失。
      • 对于光线\(3\),有\(1\)个半波损失。

      因此总的来说会有一个半波损失。

    故真正的光程差:\(\Delta_\textrm{反}=n_2(AB+BC)-n_1AD+\frac{\lambda}{2}\)

    由几何关系、折射定律,可以将式子转化为:

    \[\Delta_\textrm{反}=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}+\frac{\lambda}{2} \]

    • 对于透射反射光,同理分析(注意这里面会出现某一束光有两次半波损失的情况,则抵消),
      得光程差:

    \[\Delta_\textrm{透}=2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i} \]

无论反射还是透射光,都能明暗条纹条件,分析出明暗纹。

而对于光程差有无\(\frac{\lambda}{2}\)半波损失项,
因该根据具体情况来分析

⚠需要注意
光程差表达式恒为正(含根式),套用明暗条纹条件时不用加\(\plusmn\)
但因为半波损失的存在,在明纹处\(k\)不能取\(0\),否则会使根式等于负值。

总结为“薄膜干涉明暗纹条件”:

\[\Delta_{(\textrm{反/透})}=\left\{ \begin{array}{l} k\lambda & \textsf{(明)} & (k=1,2,\cdots)\\ \frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{(暗)} & (k=0,1,2,\cdots) \end{array} \right. \]

② 等倾干涉与等厚干涉分类

\(\lambda,n_1,n_2\)一定,
\(\Delta\)\(e,i\)有关。

对于\(\Delta\)

\[\Delta = 2e\sqrt{n_2^2-n_1^2\sin^2i}(+\frac{\lambda}{2}) \]

  1. 平行光入射 - \(i\)一定
    \(\Delta\)随着膜厚度\(e\)变化。

    • 薄膜同一厚度\(e\) → 对应同一条干涉条纹
    • 薄膜不同厚度 → 对应不同干涉条纹

    干涉条纹形状与薄膜等厚线相同,
    称为“等厚干涉”。

  2. 薄膜厚度均匀 - \(e\)一定
    \(\Delta\)随着入射角\(i\)变化。

    • 入射光同一个入射角\(i\) → 对应同一条干涉条纹
    • 入射光不同的入射角 → 对应不同干涉条纹

    干涉条纹为一组同心圆环,
    称为“等倾干涉”。


  • 等厚干涉 - 平行光入射,厚度不一 - \(i\)一定、\(e\)变化 - 劈尖、牛顿环
  • 等倾干涉 - 点光源入射,厚度相同 - \(e\)一定、\(i\)变化 - 略

2. 薄膜等厚干涉

① 劈尖

劈尖横截面示意图 1
劈尖横截面示意图

光线垂直入射,故\(\sin i = 0\)
\(\theta\)非常小,可以认为光束①、②重合,不需要透镜和观察屏。

则光程差近似为:

\[\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2} \]

Ⅰ. 劈尖条纹特点

\(\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}=\left\{\begin{array}{l}k\lambda & \textsf{(明)} & (k=1,2,\cdots)\\\frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{(暗)} & (k=0,1,2,\cdots)\end{array}\right.\)

  • 形态:平行于棱边,明、暗相间条纹。
  • 棱边处(\(e=0\)):\(\Delta=\frac{\lambda}{2}\),为暗纹
  • 相邻条纹对应的薄膜厚度差:\(\Delta e = e_{k+1}-e_k = \frac{\lambda}{2n}\)
  • 条纹宽度\(l=\frac{\Delta e}{\sin\theta}=\frac{\lambda}{2n\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{2n\theta}\)

劈尖条纹示意图 1
劈尖条纹示意图

Ⅱ. 劈尖条纹变化

牢记两点思想:

  • \(l=\frac{\lambda}{2n\theta}\)
  • 保持厚度一致。
  1. 静态变化:
    \(n\)\(\lambda\)一定,\(\theta \uparrow l \downarrow\),条纹变密,同时条纹向棱边移动(左移)
    \(n\)\(\theta\)一定,\(\lambda \uparrow l \uparrow\),白光入射出现彩条纹,且内紫外红。 \(n\)\(\theta\)一定,\(n \uparrow l \downarrow\),条纹变密(如空气劈尖中注水)
  2. 劈尖上表面平行上移:条纹向棱边方向移动(左移)。
  3. 轻压劈尖上表面:\(\theta \downarrow\),间距变宽,条纹远离棱边方向移动(右移)
  4. 劈尖底面有一凹槽:向棱边弯曲(减少\(l\))。 图 23
② 牛顿环

牛顿环横截面示意图 1
牛顿环横截面示意图

平板玻璃上放置曲率半径很大的平凸透镜,
也是垂直入射,所以跟劈尖类似,
光程差:

\[\Delta = 2ne + \frac{\lambda}{2} \]

Ⅰ. 牛顿环条纹特点

\(\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}=\left\{\begin{array}{l}k\lambda & \textsf{(明)} & (k=1,2,\cdots)\\\frac{2k+1}{2}\lambda &\textsf{(暗)} & (k=0,1,2,\cdots)\end{array}\right.\)

  • 形态:以接触点为中心的明暗相间的同心圆环
    图 25
  • 中心(\(e=0\)):\(\Delta=\frac{\lambda}{2},\)中央一定为暗斑
  • 条纹距离中心的半径\(r\)
    图 26
    \(r=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{\frac{(2k-1)R\lambda}{2n}} & \textsf{(明)} & (k=1,2,\cdots) \\ \sqrt{\frac{kR\lambda}{n}} & \textsf{(暗)} & (k=0,1,2,\cdots) \end{array}\right.\)(注意明处为\(\frac{2k-1}{2}\)
    • \(r\propto \sqrt{k}\),条纹内疏外密。
    • \(r\propto \sqrt{\lambda}\),白光照射出现彩环。(红光在外,紫光在内) 图 27

总结:条纹的形状取决于等厚膜线的形状
牛顿环等价于角度逐渐增大的劈尖。

Ⅱ. 牛顿环条纹变化
  • 上移:条纹向里收缩(向减少厚度的地方移动)

3. 薄膜等倾干涉

装置 1
装置

厚度统一、均匀。

影响光程差的关键因素只有入射角

等倾干涉条纹 1
等倾干涉条纹

跟牛顿环的等厚干涉条纹很类似,不过中央条纹不一定是暗,
而是根据入射角的变动而变动。

4. 薄膜干涉的应用

① 测量微小物体的厚度

测量微小物体的厚度 1
测量微小物体的厚度

\(l=\frac{\lambda}{2n\sin\theta}\approx\frac{\lambda}{2n\theta}\\=\frac{\lambda}{2n}\frac{L}{d}\)

\(\therefore d=\frac{\lambda}{2n}\frac{L}{l}\)

② 检测待测平面的平整度

检测待测平面的平整度 1
检测待测平面的平整度

条纹是严格的直线为平整
否则有凹槽或者突起。

③ 检测光学镜头表面曲率是否合格

利用器件“验规”。

书上例题 P97 1
书上例题 P97

④ 利用牛顿环测量未知单色平行光的波长

\(r=\sqrt{\frac{kR\lambda}{n}}\)
\(r_m^2-r_k^2=\frac{mR\lambda-kR\lambda}{n}\)
\(\lambda=\frac{(r_m^2-r_k^2)n}{(m-k)R}\)

⑤ 利用薄膜干涉制成增透膜或增反膜
  • 增透膜:减少反射光,反射光的干涉相消。
    光程差满足奇数倍半波长:\(\Delta=2e\sqrt{n_2^2-\sin^2i}(+\frac{\lambda}{2}=(2k+1)\frac{\lambda}{2}\)
    因为对感光底片最敏感的是黄绿光,所以反射蓝紫光,平时看到镜片都是蓝紫色
  • 增反膜:减少透光率,增加反射光,反射光的干涉相长。

5. 迈克尔逊干涉仪

产生等倾干涉。

1. 迈克尔逊干涉仪装置

迈克尔逊干涉仪装置 1
迈克尔逊干涉仪装置

  • 补偿玻璃板:用于补偿后面光线2的光程差

光程差\(\Delta=2ne\)
明纹条件:\(\Delta=2ne=k\lambda\)
暗纹条件:\(\Delta=2ne=\frac{2k+1}{2}\lambda\)

2. 条纹特点
  • \(M_1 \perp M_2\)时,观察到的是等倾干涉条纹
  • 不垂直时,形成劈尖,为等厚干涉条纹

条纹特点 1
条纹特点

3. 计算公式

调节\(M_1\)位置,可以改变\(e_1\)从而改变\(\Delta\),引起条纹移动。

当视线中有一条条纹移动(湮灭或出现),即\(k=1\)时,\(M_1\)移动\(\frac{\lambda}{2n}\)

\[\Delta d = \Delta N \cdot \frac{\lambda}{2n} \]

  • \(\Delta d\) - 移动\(M_1\)的距离
  • \(\Delta N\) - 湮灭或出现了多少个条纹
  • \(n\) - 半透明镀银层的折射率
  • \(\lambda\) - 波长

故一般可以用来算波长。

3. 光的时间相干性

属于同一光波列的两部分光相遇能发生干涉, 而不同光波列的两部分光相遇不能干涉

为时间相干的原因:正因为原子发出光的时间不同,导致距离过远时无法干涉。

最大光程差\(\Delta_{max} < L = c\Delta_t(\textrm{发光时间})\)

  • 空间相干性:反映扩展光源不同部分发光的独立性
  • 时间相干性:反映原子发光的间断性

第三节 光的衍射

一、衍射现象

定义:

波在传播过程中遇到障碍物,能够绕过障碍物的边缘前进,进入几何阴影区,
这种偏离直线传播的现象称为衍射。

光偏离直线传播路径进入几何阴影区,形成光强非均匀稳定分布。

衍射是指绕过边缘传播,而不是穿过障碍物传播。

波长和障碍物的大小可相比拟时就能发生衍射现象,且越相近越明显。
因此声波的衍射现象比光波更容易观测,因为声波波长(m)远长于光波波长(nm)。

二、惠更斯-菲涅耳原理

1. 惠更斯原理

前面已经讲述

只能定性解释衍射现象,不能定量说明衍射波的强度分布。

2. 菲涅耳原理

将波面上的各面元,视作子波源。
子波源 1
子波源

  • 各个子波源的初相\(\varphi_0\)相同

  • 子波在\(P\)点相位:\(\omega t+\varphi_0 -2\pi\frac{r}{\lambda}\)

  • 子波在\(P\)点振幅:\(A=\frac{Cf(\theta)\rm dS}{r}\)
    即:

    • 与面元面积\(\rm dS\)成正比
    • 与到\(P\)点的距离\(r\)成反比
    • 和矢径\(\overrightarrow{r}\)与面元法向量\(\overrightarrow{e_n}\)的夹角\(\theta\)有关。

    倾斜因子\(f(\theta)\)\(f(\theta)=\frac{1}{2}(1+\cos\theta)\)

    • \(\theta=0\)时,\(f(\theta)=1\)
    • \(\theta=\frac{\pi}{2}\)时,\(f(\theta)=\frac{1}{2}\)
    • \(\theta=\pi\)时,\(f(\theta)=0\)

故波面\(S\)发出的所有子波,其相干叠加,得到\(P\)点振动方程:
\(\Psi=C\int_S \frac{\rm dS}{2r}(1+\cos\theta)\cos(\omega t +\phi_0-2\pi\frac{r}{\lambda})\)

因此惠更斯-菲涅尔原理揭示了:衍射现象的本质是各子波的干涉叠加
同时解释了为什么干涉条纹是明暗相间的。

如果波面完全不被遮蔽,则所有子波在任意点的叠加结果就是光沿直线传播的结果,光强一致。
但如果波面不完整,叠加的时候少了部分子波的参与,
导致有个明暗条纹的衍射图象。

但因为定量计算过于复杂,故一般采用以下的近似过程来计算。

区别 - 干涉和衍射:

  • 干涉 - 有限个 分立 的相干波相干叠加
  • 衍射 - 无限个 连续分布 的子波源相干叠加

三、衍射的分类

  1. 菲涅耳衍射(近场衍射)
    波源\(\xrightarrow{\textrm{有限距离}}\)障碍物\(\xrightarrow{\textrm{有限距离}}\)

    一般障碍物为孔,但较难分析衍射现象。

  2. ⭐夫琅禾费衍射(远场衍射/平行光衍射)
    夫琅禾费衍射 1
    夫琅禾费衍射

    \(L_1\)\(L_2\)为两个透镜,使得点光源和平行光转化,
    对于平行光,由于没有交点,所以就相当于从无穷远的点光源发出的。
    之后又需要个透镜将平行光汇聚观测干涉图样。 所以即平行光衍射。

  3. 信息光学(现代光学分支)

四、单缝夫琅禾费衍射

装置如图:
装置 1
装置

  • 缝宽\(a\):其上每一点均为子波源,发出球面波。
  • 衍射角\(\varphi\):这一组衍射光线与波面法线的夹角。

可以把衍射角相同的光线分为一组,按组去讨论问题。

并且装置可以简化为不要\(L_1\)透镜,直接单色平行光入射。
简化装置 1
简化装置

  • \(\varphi=0\),衍射光线汇集于\(L_2\)焦点\(F\)
    光程差\(\Delta=0\),故形成中央明纹中心。
  • \(\varphi\ne 0\),折射光线汇聚于\(L_2\)焦平面某点\(P\)
    光程差\(\Delta\ne0\)\(P\)处光强需要由菲涅尔公式计算。

以下讲述光强分析的两种方法:

首先只有汇聚在一点的光线才会产生干涉现象
而只有平行光通过透镜后才汇聚到一点,
所以我们才按衍射角将光线分组,并按组讨论情况。

而一组光线汇聚到屏上的位置,
是由几何光学来决定的。

对于光线明暗,则是根据振动干涉叠加的结果而决定的。

1. 菲涅尔半波带法(半定量)

分析:

一组光线中,最大的光程差为\(\Delta=AC=a\sin\varphi\)
\(\frac{\lambda}{2}\)分割\(\Delta\),即设\(\Delta=n\cdot\frac{\lambda}{2}\)
则将该组光线分为\(n\)个“半波带”。

图 5

当缝宽一定时,半波带个数由衍射角确定。

对于\(n\)有以下三种情况:

  1. \(n=0\),对应\(\varphi=0\)
    对应中央明纹中心
  2. \(n\)为偶数时
    相邻两半波带中对应光线\(\Delta=\frac{\lambda}{2},\Delta\varphi=\pi\)
    两两相消,故为暗纹
  3. \(n\)为奇数时
    剩余一个半波带衍射光线无法抵消,故为明纹

故综上:

明暗纹条件:

\[⭐ \Delta=a\sin\varphi=\left\{ \begin{array}{l} 0 & (\textrm{中央明纹中心)}\\ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} &\textsf{(各级明纹中心)} \\ \pm k\lambda & \textsf{(暗纹中心)} \end{array}(k=1,2,\cdots) \right. \]

注意\(k\ne0\)(原因见下讨论)

明暗纹示意图 1
明暗纹示意图

级数越高,被分出的半波带越多,抵消越多,故光强越小。
故可以解释级数越高、光强越弱的原因。


由明暗纹条件可得推论:

  • 条纹角位置:
    (明暗纹条件\(a\)除过去)
    \(\sin\varphi\approx\varphi=\left\{\begin{array}{l}0 & (\textrm{中央明纹中心)}\\\pm \frac{(2k+1)}{2}\frac{\lambda}{a} &\textsf{(各级明纹中心)} \\\pm k\frac{\lambda}{a} & \textsf{(暗纹中心)} \end{array}(k=1,2,\cdots)\right.\)

    ⚠注意:这里只适用\(\varphi\)很小的情况,如果角度\(\varphi\)很大,请用\(a\sin\varphi\)来推。

    • 中央明纹:\(\varphi=0\)
    • 其他明纹:\(\varphi=\pm \frac{(2k+1)}{2}\frac{\lambda}{a} (k=1,2,\cdots)\)
    • 其他暗纹:\(\varphi=\pm k\frac{\lambda}{a} (k=1,2,\cdots)\)
  • 条纹角宽度:
    (上式子\(\Delta k=1\)

    • 中央明纹:\(\Delta\varphi = \frac{2\lambda}{a}\)
    • 其余条纹:\(\Delta\varphi = \frac{\lambda}{a}\)
  • 条纹位置:
    \(x=f\tan\varphi\)

  • 衍射条纹线宽度:
    \(\begin{aligned}x=f\tan\varphi \rightarrow \Delta x & =f(\tan\varphi_2-\tan\varphi_1)\approx f(\varphi_2-\varphi_1)\\ & =f\cdot\Delta\varphi\end{aligned}\)
    其中\(f\)为透镜的焦距。

    • 中央明纹:\(\Delta x =f\cdot\frac{2\lambda}{a}\)
    • 其他条纹:\(\Delta x =f\cdot\frac{\lambda}{a}\)

    注意这里采用了近似,所以实际上衍射条纹不是等间距的,只是等角宽度。

各参数如图:
图 29

讨论:

  1. 为什么明暗纹条件的\(k \ne 0\)
    • 暗纹公式中:\(k=0,\Delta=0\),为中央明纹。
    • 明纹公式中:\(\frac{\lambda}{2}\)还在第一级暗纹前,处于中央明纹中。
  2. 单缝衍射与双缝干涉的区别
    • 单缝衍射:是两束光的叠加。光程差为半波长偶数倍\(k\lambda\),代表两束光相位相同,为明纹。
      \(\Delta=\left\{\begin{array}{l}\pm k\lambda &\textrm{明} \\ \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} & \textrm{暗}\end{array}k=0,1,2,\cdots\right.\)
    • 双缝干涉:是无限光的叠加。光程差为半波长偶数倍\(k\lambda\),代表两堆光相互抵消,为暗纹。
      \(\Delta=\left\{\begin{array}{l}\pm (2k+1)\frac{\lambda}{2} & \textrm{明} \\ \pm k\lambda &\textrm{暗}\end{array}k=1,2,\cdots\right.\)\(k\ne0\)

衍射条纹变化:

参数:波长\(\lambda\)、单缝宽度\(a\)

运用公式:

  • 中央明纹宽度:\(\Delta\varphi=\frac{2\lambda}{a}\)
  • 其余明纹宽度:\(\Delta\varphi=\frac{\lambda}{a}\)
  1. 波长\(\lambda\)一定:
    • \(a\downarrow \quad \Delta\varphi \uparrow\),衍射会变得显著;
      \(a\downdownarrows\),光强太弱。
    • \(a\uparrow \quad \Delta\varphi \downarrow\),衍射不明显;
      \(a\upuparrows\),直线传播。
  2. \(a\)一定:
    • \(\lambda\uparrow \quad \Delta\varphi\uparrow\)
      白光照射:中央白光;其余条纹内紫外红,并在高层次重叠。

      单缝干涉中也是\(k=1.33\),只有第一级清晰可见。

    • \(\lambda\downarrow \quad \Delta\varphi\downarrow\)
      浸入液体中(\(n\uparrow\rightarrow\lambda\downarrow\)),条纹变密集。

非垂直入射:

光程差\(\Delta\)会变化,
将变化后的\(\Delta'\)带入原条件即可得新的明暗纹条件:

图 30

2. 振幅矢量叠加法(定量)

\(a\)划分为\(N\)个等宽(\(\frac{a}{N}\))的狭窄波带,
设每个波带内能量集中于图中所示光线。
每条光线在屏上引起光振动振幅相同,即\(A_1=A_2=\cdots=A_N\)(向量的大小相同)
图 6

  • 两相邻光线光程差:\(\Delta = \frac{a}{N}\sin\varphi\)(不一定为\(\frac{\lambda}{2}\)
  • 两相邻光线相位差:\(\delta = 2\pi\frac{\Delta}{\lambda} = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{a}{N}\sin\varphi\)(向量的相位差恒定)

然后用多边形法则,进行\(N\)个大小相等、两两依次相差为\(\delta\)的光振动的合成。
图 31

由之前振动章节 (书P17.例1) 可知:
合成后矢量大小\(A=A_1\frac{\sin(N\delta/2)}{\sin(\delta/2)}\approx A_1\frac{\sin(N\delta/2)}{\delta/2}\\=NA_1\frac{\sin(N\delta/2)}{N\delta/2}\)

再令:

  • \(A_0=NA_1\)(代表意义:中央明纹中心(\(\sin\varphi=0\))的振幅(\(N\)\(A_1\)直接相加)
  • \(\alpha=\frac{N\delta}{2}\xrightarrow{\delta= \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{a}{N}\sin\varphi}=\frac{\pi a \sin\varphi}{\lambda}\)

则可将\(A\)表示为:

\[A=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha} \]

\[\]

I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2

\[\]

结论:

\[⭐A=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha} \]

\[I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2 \]

其中:

\[A_0=NA_1 \]

\[\alpha=\pi\frac{a \sin\varphi}{\lambda} \]

\(A_0\)代表中央明纹振幅,\(I_0\)代表中央明纹光强。


\(A\)\(\alpha\)的导数,可得极大值和极小值,
即明纹和暗纹的位置。

  • 极值位置:
    提醒:\(a\sin\varphi\)为光程差\(\Delta\)
    • 极大值 - 对应各级明纹:
      \(\alpha=\tan\alpha (\alpha\ne0)\)
      图 7
    • 极小值 - 对应各级暗纹:
      \(\sin\alpha = 0 (\alpha\ne0)\)
      • \(\alpha=k\pi (k=\pm1,\pm2,\cdots)\)
      • \(\Delta = a\sin\varphi = k\lambda\)
  • 光强:
    如下图的验证。

    验证 - 菲涅尔半波带法的正确性:

    图 8
    可见差别并不大。

五、圆孔夫琅禾费衍射

1. 圆孔夫琅禾费衍射装置

圆孔夫琅禾费衍射装置 1
圆孔夫琅禾费衍射装置

2. 条纹特性

形状为明暗相同的同心圆环。

中央亮纹 - 爱里斑:

  • 集中了大部分能量
  • 角宽度为其他的两倍
  • 半角宽度:\(\Delta\varphi = 1.22\frac{\lambda}{D} (D\textrm{为圆孔直径})\)(推导不能,直接给结果)
    对比单缝衍射\(\Delta\varphi=\frac{\lambda}{a}\)
    • \(\lambda \uparrow \qquad \Delta\varphi\uparrow\),衍射现象越显著。
    • \(D\downarrow \qquad \Delta\varphi\uparrow\),衍射现象越显著。

3. 光学仪器分辨率

对于平常的摄像仪器:

  • 物镜 - 圆孔
  • 成像原理 - 衍射图样

定义 - 瑞利准则:

第一个像的爱里斑的中心,恰与第二个像的爱里斑的边缘重合时,
或者说两个爱里斑的中心的距离,为爱里斑的半径时,
是恰能分辨两个像的临界点。
此时称\(\Delta\varphi\)为最小分辨角,记为\(\theta_R\)

例:

  • 图 10
    \(\theta=\theta_R\),此时完全可以分辨出这两个物点。
  • 图 2
    \(\theta<\theta_R\),此时完全分辨不出这两个物点。
  • 图 3
    \(\theta>\theta_R\),此时恰好处于临界状态。

故最小分辨角:\(\Delta\varphi = 1.22\frac{\lambda}{D}\)

光学仪器的临界角越小,则分辨力越高,
故将光学仪器分辨率定义为

\[\frac{1}{\Delta\varphi} \]

\(\frac{D}{1.22\lambda}\)

提高分辨率途径:

  • \(D\uparrow\),如天文望远镜。
  • \(\lambda\downarrow\)

几个常见的显微镜分辨率:

  • 光学显微镜:\(0.2\mu\textrm{m}\)
  • 电子显微镜:\(1\overset{\circ}{A}\)\(1\overset{\circ}{A}=10^{-10}\textrm{m}\)
  • 扫描隧道显微镜:\(0.01\overset{\circ}{A}\)

六、光栅夫琅禾费衍射

引例 - 用单缝夫琅禾费衍射来测量光波长

单缝衍射中:\(\Delta\varphi_{\textrm{中央}}=\frac{2\lambda}{a}\)

为了便于观察条纹,虽然可以通过减小缝宽\(a\),来使条纹宽度变大,
但相应的光强会减弱,反而导致难以观察。

解决方法:
采用一系列的狭缝,每个衍射光纤叠加。

1. 分类

  1. 衍射光栅(透射光栅)
    图 11
  2. 反射光栅(闪耀光栅)
    图 12

以下将采用透射光栅讲解。

2. 透射光栅装置

透射光栅
通常采用刻痕玻璃的方法,
在玻璃片上刻画出一系列平行等距的划痕,
刻过的地方不透光,没刻过的地方透光。

透射光栅装置 1
透射光栅装置

投射光栅衍射装置 1
透射光栅衍射实验示意图

  • \(a\) - 一条未刻痕区域的长度
  • \(b\) - 一条刻痕区域的长度
  • 光栅常数\(⭐d=a+b=\frac{l}{N}\qquad(10^{-3}\sim10^{-4}\textrm{cm})\)

2. 衍射图样特点

宽大的弱暗背景中出现强度不等的明亮明窄条纹。
图 14

当复色光入射时,波长不同,角度不同,
故可以用作分光装置,形成光谱。

3. 衍射光强分析

思路:

  1. 先不考虑缝宽,认为一条光缝只发出一条线光源。
    故问题变为:讨论\(N\)个几个线光源的干涉。
  2. 再考虑缝宽。
Step.1 不计缝宽
  • 光线光振动的振幅一样:\(A_1=A_2=\cdots=A_n\)
  • 相邻光线光程差:\(\Delta=d\sin\varphi\)(与之前不同,这里不是\(\frac{a}{N}\sin\varphi\),没有\(N\),故不能令\(\beta=\frac{N\delta}{2}\)
  • 相邻光线相位差:\(\delta=\Delta\varphi=\frac{d\sin\varphi}{\lambda}2\pi\)

故又可以转换为向量合成:
图 15

令:\(\beta=\frac{\delta}{2}\)

则:

\[A=A_1\cdot\frac{\sin N\beta}{\sin\beta} \]

\[I=I_1\cdot(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2 \]

对其求极值,可得明暗纹的关系式。

  • 最大值 - 中央明纹位置:\(\beta=k\pi\)
  • 极小值 - 暗纹位置:\(\sin N\beta = 0\)
  • 极大值 - 明纹位置:\(\tan N\beta = N \tan\beta\)

对于\((\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2\),函数大致如下:
图 15


最大值 - 中央明纹位置:\(\beta=k\pi\)
对应向量合成图如下:
图 11

可得如下式子:

  • 主明纹位置公式(光栅公式):

    \[⭐d\sin\varphi = \pm k\lambda\qquad(k=0,1,2,\cdots) \]

    • 位置:\(\sin\varphi=\pm k\frac{\lambda}{d}\)
    • 亮度:\(I=N^2I_1\)\(N\)是光栅刻痕数目)
    • 最高级次\(k_m < \frac{d}{\lambda}\)
      \(\because |\sin\varphi| < 1\)
      \(\therefore k_m < \frac{d}{\lambda}\)
      所以如果用红光照射可能看到\(3\)条,而紫光则可能看到\(5\)条。
  • 主明纹角宽度:\(\Delta\varphi=\frac{2\lambda}{Nd}(\Delta k'=2)\)
    注意这里可不是\(k\)级和\(k+1\)级之间的长度,
    而是\(kN-1\)\(kN+1\)级暗纹之间的长度
    可见:\(N\uparrow\),主明纹越细窄、明亮,故光栅的分辨本领很高。

极小值 - 暗纹位置:\(\sin N\beta = 0\)
对应向量合成图如下:
图 16

可得如下关系:

  • 暗纹位置公式:

    \[\sin\varphi=\pm \frac{k'}{N}\cdot\frac{\lambda}{d}\qquad(k'\ne Nk) \]

    ⚠注意\(k'\ne Nk\),否则就是明纹。

\(k\)\(k'\)的取值举例:
图 10
可见相邻两条主明纹间有\(N-1\)条暗纹


极大值 - 明纹位置:\(\tan N\beta = N \tan\beta\) 对应向量合成图如下:
图 12

\(I=I_1(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2\)的函数图像可知:
\(N=7\)时, 图 13
\(N=9\)时,
图 14

两条主极大之间
\(N-1\)条暗纹
\(N-2\)条次极大

由于\(N\)一般很大,
所以次极大的光强一般不超过主极大的\(\frac{1}{23}\)
故两个主极大之间近似看成宽大的暗背景。


分辨率:
对于不同波长的两束光,其恰能分辨的情况如下:
图 16

需要同时满足:
\(\left\{\begin{array}{l}d \sin \varphi=k \lambda_{1} \\d \sin \varphi=\frac{k N-1}{N} \cdot \lambda_{2}\end{array}\right.\)
联立解得:
\(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{1}{kN}\)

定义分辨率:

\[R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=kN \]

可见只与刻痕数\(N\)有关,呈正比。


小结:

  • 两个主极大间:\(N-1\)个暗纹,\(N-2\)条次极大。
  • 明纹位置(光栅公式):\(d\sin\varphi=\pm k\lambda\qquad(k=0,1,2,\cdots)\)
  • 暗纹位置:\(d\sin\varphi=\frac{k'}{N}\lambda\qquad(k'\ne Nk)\)

拓展 - 为什么公式与单缝衍射差不多,最终结果差别巨大

需要明确的是,单缝中有极限的思想。
我们将划分个数\(N\to\infty\),导致\(\delta\to0\),才能使得分母的\(\sin(\delta/2)\approx(\delta/2)\)

公式仍有一点不同,我们强行将其化为相同格式,
具体如下图:
图 9

Step.2 考虑缝宽

每个缝的单缝衍射条纹彼此重合,故影响一致。

对于缝宽\(a\)

  • 若分为偶数个半波带: 缝内:自身干涉相消\(I_i=0\)
    故即使缝间干涉相长,合成的也是\(I=N^2I_i=0\)
    故主极大不出现,称为“缺级”现象
  • 分为奇数个半波带: 缝内光线部分干涉相消,
    且条纹级数越高,相消越多。
    故越级数高越暗,称为“光亮调制”。

\[I=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2\cdot(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2 \]

  • \((\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2\) - 单缝衍射因子(\(\alpha=\frac{\pi a\sin\varphi}{\lambda}\)
  • \((\frac{\sin N\beta}{\sin\beta})^2\) - 多缝干涉因子(\(\beta=\frac{\pi d\sin\varphi}{\lambda}\)

图 18

  • a - 单缝
  • b - 光栅 - 不考虑缝宽
  • c - 光栅 - 考虑缝宽后

图 19

故影响光栅衍射光强的因素:

  • 缝宽\(a\)
  • 光栅常数\(d=a+b\)
  • 衍射角\(\varphi\)

缺级现象:

需要满足如下条件

  • 光栅中 - 主明纹:\(d\sin\varphi=(a+b)\sin\varphi=\pm k\lambda (k=0,1,2,\cdots)\)
  • 单缝中 - 暗明纹:\(a\sin\varphi=\pm k'\lambda (k'=1,2,\cdots)\)

联立得,缺级:

\[k=\pm \frac{d}{a}\cdot k'(k'=1,2,\cdots) \]

中央明纹区的主极大条数:

对应\(k'=1\),故\(k=\frac{d}{a}\)
若为整数,则\(k=2\frac{d}{a}$+$1\)条中央明纹-\(2\)缺级。
如果不为整数,则不会有缺级,向上取整后可以把减的\(2\)补回来。

则极大条数:\(2\lceil\frac{d}{a}\rceil-1\)(向上取整)

七、晶格衍射(X光衍射)

  • 单晶:分立开的
  • 多晶、孪晶:连续的

布拉格公式:

  • 掠射角\(\theta\):X射线到晶面时与晶面夹角。
  • 晶格常数\(d\):两层晶体分子的距离。

图 17

故可得光程差:\(\Delta=2d\sin\theta\)

明纹(加强)条件:

\[2d\sin\theta=k\lambda (k=0,1,2,\cdots) \]